Theorem deg1nn0clb 24686

Description: A polynomial is nonzero iff it has definite degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1z.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
deg1z.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1z.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
deg1nn0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
deg1nn0clb	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐹 ≠ 0 ↔ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0))

Proof of Theorem deg1nn0clb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1z.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
2		deg1z.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		deg1z.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
4		deg1nn0cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5	1, 2, 3, 4	deg1nn0cl 24684	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
6	5	3expia 1117	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐹 ≠ 0 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0))
7		mnfnre 10686	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ∉ ℝ
8	7	neli 3127	. . . . . 6 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℝ
9		nn0re 11909	. . . . . 6 ⊢ (-∞ ∈ ℕ0 → -∞ ∈ ℝ)
10	8, 9	mto 199	. . . . 5 ⊢ ¬ -∞ ∈ ℕ0
11	1, 2, 3	deg1z 24683	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐷‘ 0 ) = -∞)
12	11	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐷‘ 0 ) = -∞)
13	12	eleq1d 2899	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘ 0 ) ∈ ℕ0 ↔ -∞ ∈ ℕ0))
14	10, 13	mtbiri 329	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ¬ (𝐷‘ 0 ) ∈ ℕ0)
15		fveq2 6672	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 = 0 → (𝐷‘𝐹) = (𝐷‘ 0 ))
16	15	eleq1d 2899	. . . . 5 ⊢ (𝐹 = 0 → ((𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0 ↔ (𝐷‘ 0 ) ∈ ℕ0))
17	16	notbid 320	. . . 4 ⊢ (𝐹 = 0 → (¬ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0 ↔ ¬ (𝐷‘ 0 ) ∈ ℕ0))
18	14, 17	syl5ibrcom 249	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐹 = 0 → ¬ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0))
19	18	necon2ad 3033	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0 → 𝐹 ≠ 0 ))
20	6, 19	impbid 214	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐹 ≠ 0 ↔ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ‘cfv 6357  ℝcr 10538  -∞cmnf 10675  ℕ₀cn0 11900  Basecbs 16485  0_gc0g 16715  Ringcrg 19299  Poly₁cpl1 20347   deg₁ cdg1 24650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-addf 10618  ax-mulf 10619

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-sup 8908  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-hash 13694  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-subg 18278  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-cring 19302  df-psr 20138  df-mpl 20140  df-opsr 20142  df-psr1 20350  df-ply1 20352  df-cnfld 20548  df-mdeg 24651  df-deg1 24652

This theorem is referenced by:  deg1ldgn  24689  ply1domn  24719  uc1pmon1p  24747  ply1remlem  24758  fta1glem1  24761  fta1g  24763  lgsqrlem4  25927  idomrootle  39802  mon1psubm  39813