MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1sub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1sub 23806
Description: Exact degree of a difference of two polynomials of unequal degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1addle.y 𝑌 = (Poly1𝑅)
deg1addle.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1addle.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
deg1suble.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
deg1suble.m = (-g𝑌)
deg1suble.f (𝜑𝐹𝐵)
deg1suble.g (𝜑𝐺𝐵)
deg1sub.l (𝜑 → (𝐷𝐺) < (𝐷𝐹))
Assertion
Ref Expression
deg1sub (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) = (𝐷𝐹))

Proof of Theorem deg1sub
StepHypRef Expression
1 deg1suble.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐵)
2 deg1suble.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐵)
3 deg1suble.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑌)
4 eqid 2621 . . . . 5 (+g𝑌) = (+g𝑌)
5 eqid 2621 . . . . 5 (invg𝑌) = (invg𝑌)
6 deg1suble.m . . . . 5 = (-g𝑌)
73, 4, 5, 6grpsubval 17405 . . . 4 ((𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) = (𝐹(+g𝑌)((invg𝑌)‘𝐺)))
81, 2, 7syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝐹(+g𝑌)((invg𝑌)‘𝐺)))
98fveq2d 6162 . 2 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) = (𝐷‘(𝐹(+g𝑌)((invg𝑌)‘𝐺))))
10 deg1addle.y . . 3 𝑌 = (Poly1𝑅)
11 deg1addle.d . . 3 𝐷 = ( deg1𝑅)
12 deg1addle.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
1310ply1ring 19558 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Ring)
14 ringgrp 18492 . . . . 5 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
1512, 13, 143syl 18 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ Grp)
163, 5grpinvcl 17407 . . . 4 ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝐺𝐵) → ((invg𝑌)‘𝐺) ∈ 𝐵)
1715, 2, 16syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → ((invg𝑌)‘𝐺) ∈ 𝐵)
1810, 11, 12, 3, 5, 2deg1invg 23804 . . . 4 (𝜑 → (𝐷‘((invg𝑌)‘𝐺)) = (𝐷𝐺))
19 deg1sub.l . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐺) < (𝐷𝐹))
2018, 19eqbrtrd 4645 . . 3 (𝜑 → (𝐷‘((invg𝑌)‘𝐺)) < (𝐷𝐹))
2110, 11, 12, 3, 4, 1, 17, 20deg1add 23801 . 2 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(+g𝑌)((invg𝑌)‘𝐺))) = (𝐷𝐹))
229, 21eqtrd 2655 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) = (𝐷𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4623  cfv 5857  (class class class)co 6615   < clt 10034  Basecbs 15800  +gcplusg 15881  Grpcgrp 17362  invgcminusg 17363  -gcsg 17364  Ringcrg 18487  Poly1cpl1 19487   deg1 cdg1 23752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-ofr 6863  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-tpos 7312  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-sup 8308  df-oi 8375  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-hash 13074  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-mhm 17275  df-submnd 17276  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-sbg 17367  df-mulg 17481  df-subg 17531  df-ghm 17598  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-abl 18136  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-cring 18490  df-oppr 18563  df-dvdsr 18581  df-unit 18582  df-invr 18612  df-subrg 18718  df-lmod 18805  df-lss 18873  df-rlreg 19223  df-psr 19296  df-mpl 19298  df-opsr 19300  df-psr1 19490  df-ply1 19492  df-coe1 19493  df-cnfld 19687  df-mdeg 23753  df-deg1 23754
This theorem is referenced by:  ply1remlem  23860  lgsqrlem4  25008  idomrootle  37293
  Copyright terms: Public domain W3C validator