Theorem deg1vscale 24690

Description: The degree of a scalar times a polynomial is at most the degree of the original polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1addle.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
deg1addle.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
deg1addle.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
deg1vscale.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
deg1vscale.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
deg1vscale.p	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
deg1vscale.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐾)
deg1vscale.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
deg1vscale	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐷‘𝐺))

Proof of Theorem deg1vscale

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2819	. 2 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
2		deg1addle.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
3	2	deg1fval 24666	. 2 ⊢ 𝐷 = (1o mDeg 𝑅)
4		1on 8101	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ On)
6		deg1addle.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		deg1addle.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
8		eqid 2819	. . 3 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
9		deg1vscale.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
10	7, 8, 9	ply1bas 20355	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
11		deg1vscale.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
12		deg1vscale.p	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
13	7, 1, 12	ply1vsca 20386	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅))
14		deg1vscale.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐾)
15		deg1vscale.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
16	1, 3, 5, 6, 10, 11, 13, 14, 15	mdegvscale 24661	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐷‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1531   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5057  Oncon0 6184  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  1_oc1o 8087   ≤ cle 10668  Basecbs 16475   ·_𝑠 cvsca 16561  Ringcrg 19289   mPoly cmpl 20125  PwSer₁cps1 20335  Poly₁cpl1 20337   deg₁ cdg1 24640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-sup 8898  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-seq 13362  df-hash 13683  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-cring 19292  df-lmod 19628  df-lss 19696  df-psr 20128  df-mpl 20130  df-opsr 20132  df-psr1 20340  df-ply1 20342  df-cnfld 20538  df-mdeg 24641  df-deg1 24642

This theorem is referenced by: (None)