Theorem demoivreALT 15556

Description: Alternate proof of demoivre 15555. It is longer but does not use the exponential function. This is Metamath 100 proof #17. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
demoivreALT	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑁) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴)))))

Proof of Theorem demoivreALT

Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7166	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑0))
2		oveq1 7165	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
3	2	fveq2d 6676	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (cos‘(𝑥 · 𝐴)) = (cos‘(0 · 𝐴)))
4	2	fveq2d 6676	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (sin‘(𝑥 · 𝐴)) = (sin‘(0 · 𝐴)))
5	4	oveq2d 7174	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴))) = (i · (sin‘(0 · 𝐴))))
6	3, 5	oveq12d 7176	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴)))) = ((cos‘(0 · 𝐴)) + (i · (sin‘(0 · 𝐴)))))
7	1, 6	eqeq12d 2839	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴)))) ↔ (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑0) = ((cos‘(0 · 𝐴)) + (i · (sin‘(0 · 𝐴))))))
8	7	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴))))) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑0) = ((cos‘(0 · 𝐴)) + (i · (sin‘(0 · 𝐴)))))))
9		oveq2 7166	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘))
10		oveq1 7165	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑘 · 𝐴))
11	10	fveq2d 6676	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (cos‘(𝑥 · 𝐴)) = (cos‘(𝑘 · 𝐴)))
12	10	fveq2d 6676	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (sin‘(𝑥 · 𝐴)) = (sin‘(𝑘 · 𝐴)))
13	12	oveq2d 7174	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴))) = (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))
14	11, 13	oveq12d 7176	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴)))) = ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
15	9, 14	eqeq12d 2839	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴)))) ↔ (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) = ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))))
16	15	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴))))) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) = ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
17		oveq2 7166	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑(𝑘 + 1)))
18		oveq1 7165	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑥 · 𝐴) = ((𝑘 + 1) · 𝐴))
19	18	fveq2d 6676	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (cos‘(𝑥 · 𝐴)) = (cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)))
20	18	fveq2d 6676	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (sin‘(𝑥 · 𝐴)) = (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴)))
21	20	oveq2d 7174	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴))) = (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴))))
22	19, 21	oveq12d 7176	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴)))) = ((cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴)))))
23	17, 22	eqeq12d 2839	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴)))) ↔ (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑(𝑘 + 1)) = ((cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴))))))
24	23	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴))))) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑(𝑘 + 1)) = ((cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴)))))))
25		oveq2 7166	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑁))
26		oveq1 7165	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
27	26	fveq2d 6676	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (cos‘(𝑥 · 𝐴)) = (cos‘(𝑁 · 𝐴)))
28	26	fveq2d 6676	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (sin‘(𝑥 · 𝐴)) = (sin‘(𝑁 · 𝐴)))
29	28	oveq2d 7174	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴))) = (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴))))
30	27, 29	oveq12d 7176	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴)))) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴)))))
31	25, 30	eqeq12d 2839	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴)))) ↔ (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑁) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴))))))
32	31	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑥) = ((cos‘(𝑥 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑥 · 𝐴))))) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑁) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴)))))))
33		coscl 15482	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
34		ax-icn 10598	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
35		sincl 15481	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
36		mulcl 10623	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
37	34, 35, 36	sylancr 589	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
38		addcl 10621	. . . . . 6 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) ∈ ℂ)
39	33, 37, 38	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) ∈ ℂ)
40		exp0 13436	. . . . 5 ⊢ (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑0) = 1)
41	39, 40	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑0) = 1)
42		mul02 10820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
43	42	fveq2d 6676	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(0 · 𝐴)) = (cos‘0))
44		cos0 15505	. . . . . . 7 ⊢ (cos‘0) = 1
45	43, 44	syl6eq 2874	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(0 · 𝐴)) = 1)
46	42	fveq2d 6676	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(0 · 𝐴)) = (sin‘0))
47		sin0 15504	. . . . . . . . 9 ⊢ (sin‘0) = 0
48	46, 47	syl6eq 2874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(0 · 𝐴)) = 0)
49	48	oveq2d 7174	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘(0 · 𝐴))) = (i · 0))
50	34	mul01i 10832	. . . . . . 7 ⊢ (i · 0) = 0
51	49, 50	syl6eq 2874	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘(0 · 𝐴))) = 0)
52	45, 51	oveq12d 7176	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(0 · 𝐴)) + (i · (sin‘(0 · 𝐴)))) = (1 + 0))
53		ax-1cn 10597	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
54	53	addid1i 10829	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
55	52, 54	syl6eq 2874	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(0 · 𝐴)) + (i · (sin‘(0 · 𝐴)))) = 1)
56	41, 55	eqtr4d 2861	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑0) = ((cos‘(0 · 𝐴)) + (i · (sin‘(0 · 𝐴)))))
57		expp1 13439	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑(𝑘 + 1)) = ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))))
58	39, 57	sylan 582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑(𝑘 + 1)) = ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))))
59	58	ancoms 461	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑(𝑘 + 1)) = ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))))
60	59	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) = ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑(𝑘 + 1)) = ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))))
61		oveq1 7165	. . . . . . 7 ⊢ ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) = ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) → ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))))
62	61	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) = ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) → ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))))
63		nn0cn 11910	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
64		mulcl 10623	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝐴) ∈ ℂ)
65	63, 64	sylan 582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝐴) ∈ ℂ)
66		sinadd 15519	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑘 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (sin‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) = (((sin‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))))
67	65, 66	sylancom 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (sin‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) = (((sin‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))))
68	33	adantl 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
69		sincl 15481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 · 𝐴) ∈ ℂ → (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ)
70	65, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ)
71		mulcom 10625	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) = ((sin‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)))
72	68, 70, 71	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) = ((sin‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)))
73	72	oveq1d 7173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) + ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))) = (((sin‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))))
74		mulcl 10623	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ)
75	68, 70, 74	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ)
76		coscl 15482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 · 𝐴) ∈ ℂ → (cos‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ)
77	65, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (cos‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ)
78	35	adantl 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
79		mulcl 10623	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
80	77, 78, 79	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
81		addcom 10828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) + ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
82	75, 80, 81	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) + ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
83	67, 73, 82	3eqtr2d 2864	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (sin‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
84	83	oveq2d 7174	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · (sin‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴))) = (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))))
85	84	oveq2d 7174	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)))) = ((cos‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
86		adddir 10634	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · 𝐴) = ((𝑘 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
87		mulid2 10642	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
88	87	oveq2d 7174	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑘 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = ((𝑘 · 𝐴) + 𝐴))
89	88	3ad2ant3 1131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = ((𝑘 · 𝐴) + 𝐴))
90	86, 89	eqtrd 2858	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · 𝐴) = ((𝑘 · 𝐴) + 𝐴))
91	63, 90	syl3an1 1159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · 𝐴) = ((𝑘 · 𝐴) + 𝐴))
92	53, 91	mp3an2 1445	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · 𝐴) = ((𝑘 · 𝐴) + 𝐴))
93	92	fveq2d 6676	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) = (cos‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)))
94	92	fveq2d 6676	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) = (sin‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)))
95	94	oveq2d 7174	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴))) = (i · (sin‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴))))
96	93, 95	oveq12d 7176	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴)))) = ((cos‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)))))
97		mulcl 10623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ) → (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ)
98	34, 97	mpan 688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ → (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ)
99	65, 69, 98	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ)
100	33, 37	jca 514	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ))
101	100	adantl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ))
102		muladd 11074	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ) ∧ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + ((i · (sin‘𝐴)) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) + (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))) + ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
103	77, 99, 101, 102	syl21anc 835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + ((i · (sin‘𝐴)) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) + (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))) + ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
104	78, 34	jctil 522	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ))
105	70, 34	jctil 522	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i ∈ ℂ ∧ (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ))
106		mul4 10810	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) ∧ (i ∈ ℂ ∧ (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ)) → ((i · (sin‘𝐴)) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = ((i · i) · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
107		ixi 11271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (i · i) = -1
108	107	oveq1i 7168	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i · i) · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))
109	106, 108	syl6eq 2874	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) ∧ (i ∈ ℂ ∧ (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ)) → ((i · (sin‘𝐴)) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
110	104, 105, 109	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · (sin‘𝐴)) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
111	110	oveq2d 7174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + ((i · (sin‘𝐴)) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))))
112	111	oveq1d 7173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + ((i · (sin‘𝐴)) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) + (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))) + ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))) = ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) + (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))) + ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
113		mul12 10807	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))) = (i · ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))))
114	34, 113	mp3an2 1445	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))) = (i · ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))))
115	77, 78, 114	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))) = (i · ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))))
116		mul12 10807	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = (i · ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
117	34, 116	mp3an2 1445	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = (i · ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
118	68, 70, 117	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = (i · ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
119	115, 118	oveq12d 7176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))) + ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) = ((i · ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))) + (i · ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))))
120		adddi 10628	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ) → (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) = ((i · ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))) + (i · ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))))
121	34, 120	mp3an1 1444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ) → (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) = ((i · ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))) + (i · ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))))
122	80, 75, 121	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) = ((i · ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))) + (i · ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))))
123	119, 122	eqtr4d 2861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))) + ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) = (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))))
124	123	oveq2d 7174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) + (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))) + ((cos‘𝐴) · (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))) = ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
125	103, 112, 124	3eqtrd 2862	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
126		mulcl 10623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ)
127	78, 70, 126	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ)
128		mulm1 11083	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ → (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = -((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))
129	127, 128	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = -((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))
130	129	oveq2d 7174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + -((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
131	130	oveq1d 7173	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + (-1 · ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))) = ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + -((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
132		mulcl 10623	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ) → ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
133	77, 68, 132	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
134		negsub 10936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))) ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + -((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
135	133, 127, 134	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + -((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
136	135	oveq1d 7173	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) + -((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))) = ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
137	125, 131, 136	3eqtrd 2862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
138		cosadd 15520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑘 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (cos‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))))
139	65, 138	sylancom 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (cos‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))))
140		mulcom 10625	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((sin‘(𝑘 · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → ((sin‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) = ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))
141	70, 78, 140	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((sin‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) = ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))
142	141	oveq2d 7174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
143	139, 142	eqtrd 2858	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (cos‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) = (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))
144	143	oveq1d 7173	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))) = ((((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
145	137, 144	eqtr4d 2861	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = ((cos‘((𝑘 · 𝐴) + 𝐴)) + (i · (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))))))
146	85, 96, 145	3eqtr4rd 2869	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = ((cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴)))))
147	146	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) = ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) → (((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) · ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = ((cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴)))))
148	60, 62, 147	3eqtrd 2862	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) = ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑(𝑘 + 1)) = ((cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴)))))
149	148	exp31 422	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℂ → ((((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) = ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴)))) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑(𝑘 + 1)) = ((cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴)))))))
150	149	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑘) = ((cos‘(𝑘 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑘 · 𝐴))))) → (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑(𝑘 + 1)) = ((cos‘((𝑘 + 1) · 𝐴)) + (i · (sin‘((𝑘 + 1) · 𝐴)))))))
151	8, 16, 24, 32, 56, 150	nn0ind 12080	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑁) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴))))))
152	151	impcom 410	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑁) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  0cc0 10539  1c1 10540  ici 10541   + caddc 10542   · cmul 10544   − cmin 10872  -cneg 10873  ℕ₀cn0 11900  ↑cexp 13432  sincsin 15419  cosccos 15420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-addf 10618  ax-mulf 10619

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-ico 12747  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-fac 13637  df-bc 13666  df-hash 13694  df-shft 14428  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-limsup 14830  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-sum 15045  df-ef 15423  df-sin 15425  df-cos 15426

This theorem is referenced by: (None)