Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  derangsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem derangsn 30857
Description: The derangement number of a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
derang.d 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (#‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
Assertion
Ref Expression
derangsn (𝐴𝑉 → (𝐷‘{𝐴}) = 0)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝑦,𝐴   𝑓,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem derangsn
StepHypRef Expression
1 snfi 7982 . . . 4 {𝐴} ∈ Fin
2 derang.d . . . . 5 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (#‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
32derangval 30854 . . . 4 ({𝐴} ∈ Fin → (𝐷‘{𝐴}) = (#‘{𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
41, 3ax-mp 5 . . 3 (𝐷‘{𝐴}) = (#‘{𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)})
5 f1of 6094 . . . . . . . . . 10 (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} → 𝑓:{𝐴}⟶{𝐴})
65adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦) → 𝑓:{𝐴}⟶{𝐴})
7 snidg 4177 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉𝐴 ∈ {𝐴})
8 ffvelrn 6313 . . . . . . . . 9 ((𝑓:{𝐴}⟶{𝐴} ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → (𝑓𝐴) ∈ {𝐴})
96, 7, 8syl2anr 495 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)) → (𝑓𝐴) ∈ {𝐴})
10 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦) → ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)
11 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐴 → (𝑓𝑦) = (𝑓𝐴))
12 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐴𝑦 = 𝐴)
1311, 12neeq12d 2851 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑓𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝑓𝐴) ≠ 𝐴))
1413rspcva 3293 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ {𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦) → (𝑓𝐴) ≠ 𝐴)
157, 10, 14syl2an 494 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)) → (𝑓𝐴) ≠ 𝐴)
16 nelsn 4183 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝐴) ≠ 𝐴 → ¬ (𝑓𝐴) ∈ {𝐴})
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)) → ¬ (𝑓𝐴) ∈ {𝐴})
189, 17pm2.21dd 186 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)) → 𝑓 ∈ ∅)
1918ex 450 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → ((𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦) → 𝑓 ∈ ∅))
2019abssdv 3655 . . . . 5 (𝐴𝑉 → {𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ⊆ ∅)
21 ss0 3946 . . . . 5 ({𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ⊆ ∅ → {𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} = ∅)
2220, 21syl 17 . . . 4 (𝐴𝑉 → {𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} = ∅)
2322fveq2d 6152 . . 3 (𝐴𝑉 → (#‘{𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}) = (#‘∅))
244, 23syl5eq 2667 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐷‘{𝐴}) = (#‘∅))
25 hash0 13098 . 2 (#‘∅) = 0
2624, 25syl6eq 2671 1 (𝐴𝑉 → (𝐷‘{𝐴}) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  {cab 2607  wne 2790  wral 2907  wss 3555  c0 3891  {csn 4148  cmpt 4673  wf 5843  1-1-ontowf1o 5846  cfv 5847  Fincfn 7899  0cc0 9880  #chash 13057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-hash 13058
This theorem is referenced by:  subfac1  30865
  Copyright terms: Public domain W3C validator