Theorem dfac8 9560

Description: A proof of the equivalency of the well-ordering theorem weth 9916 and the axiom of choice ac7 9894. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dfac8	⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥∃𝑟 𝑟 We 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝑟

Proof of Theorem dfac8

Dummy variables 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfac3 9546	. 2 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑦∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
2		vex 3497	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		vpwex 5277	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 𝑥 ∈ V
4		raleq 3405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝒫 𝑥 → (∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑥(𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
5	4	exbidv 1918	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝒫 𝑥 → (∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑥(𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
6	3, 5	spcv 3605	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑥(𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
7		dfac8a 9455	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ V → (∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑥(𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ dom card))
8	2, 6, 7	mpsyl 68	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ dom card)
9		dfac8b 9456	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ dom card → ∃𝑟 𝑟 We 𝑥)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (∀𝑦∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑟 𝑟 We 𝑥)
11	10	alrimiv 1924	. . 3 ⊢ (∀𝑦∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) → ∀𝑥∃𝑟 𝑟 We 𝑥)
12		vex 3497	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
13		vuniex 7464	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ V
14		weeq2 5543	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑦 → (𝑟 We 𝑥 ↔ 𝑟 We ∪ 𝑦))
15	14	exbidv 1918	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑦 → (∃𝑟 𝑟 We 𝑥 ↔ ∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝑦))
16	13, 15	spcv 3605	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥∃𝑟 𝑟 We 𝑥 → ∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝑦)
17		dfac8c 9458	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ V → (∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝑦 → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
18	12, 16, 17	mpsyl 68	. . . 4 ⊢ (∀𝑥∃𝑟 𝑟 We 𝑥 → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
19	18	alrimiv 1924	. . 3 ⊢ (∀𝑥∃𝑟 𝑟 We 𝑥 → ∀𝑦∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
20	11, 19	impbii 211	. 2 ⊢ (∀𝑦∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑥∃𝑟 𝑟 We 𝑥)
21	1, 20	bitri 277	1 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥∃𝑟 𝑟 We 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208  ∀wal 1531   = wceq 1533  ∃wex 1776   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  Vcvv 3494  ∅c0 4290  𝒫 cpw 4538  ∪ cuni 4837   We wwe 5512  dom cdm 5554  ‘cfv 6354  cardccrd 9363  CHOICEwac 9540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-en 8509  df-card 9367  df-ac 9541

This theorem is referenced by:  dfac10  9562  weth  9916  dfac11  39660