MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfac8 8917
Description: A proof of the equivalency of the Well Ordering Theorem weth 9277 and the Axiom of Choice ac7 9255. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
dfac8 (CHOICE ↔ ∀𝑥𝑟 𝑟 We 𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝑟

Proof of Theorem dfac8
Dummy variables 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac3 8904 . 2 (CHOICE ↔ ∀𝑦𝑓𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
2 vex 3193 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
3 vpwex 4819 . . . . . . 7 𝒫 𝑥 ∈ V
4 raleq 3131 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝒫 𝑥 → (∀𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑥(𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
54exbidv 1847 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝒫 𝑥 → (∃𝑓𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∃𝑓𝑧 ∈ 𝒫 𝑥(𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
63, 5spcv 3289 . . . . . 6 (∀𝑦𝑓𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓𝑧 ∈ 𝒫 𝑥(𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
7 dfac8a 8813 . . . . . 6 (𝑥 ∈ V → (∃𝑓𝑧 ∈ 𝒫 𝑥(𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ dom card))
82, 6, 7mpsyl 68 . . . . 5 (∀𝑦𝑓𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ dom card)
9 dfac8b 8814 . . . . 5 (𝑥 ∈ dom card → ∃𝑟 𝑟 We 𝑥)
108, 9syl 17 . . . 4 (∀𝑦𝑓𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑟 𝑟 We 𝑥)
1110alrimiv 1852 . . 3 (∀𝑦𝑓𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) → ∀𝑥𝑟 𝑟 We 𝑥)
12 vex 3193 . . . . 5 𝑦 ∈ V
13 vuniex 6919 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
14 weeq2 5073 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑟 We 𝑥𝑟 We 𝑦))
1514exbidv 1847 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑟 𝑟 We 𝑥 ↔ ∃𝑟 𝑟 We 𝑦))
1613, 15spcv 3289 . . . . 5 (∀𝑥𝑟 𝑟 We 𝑥 → ∃𝑟 𝑟 We 𝑦)
17 dfac8c 8816 . . . . 5 (𝑦 ∈ V → (∃𝑟 𝑟 We 𝑦 → ∃𝑓𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
1812, 16, 17mpsyl 68 . . . 4 (∀𝑥𝑟 𝑟 We 𝑥 → ∃𝑓𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
1918alrimiv 1852 . . 3 (∀𝑥𝑟 𝑟 We 𝑥 → ∀𝑦𝑓𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
2011, 19impbii 199 . 2 (∀𝑦𝑓𝑧𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑥𝑟 𝑟 We 𝑥)
211, 20bitri 264 1 (CHOICE ↔ ∀𝑥𝑟 𝑟 We 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wal 1478   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wral 2908  Vcvv 3190  c0 3897  𝒫 cpw 4136   cuni 4409   We wwe 5042  dom cdm 5084  cfv 5857  cardccrd 8721  CHOICEwac 8898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-en 7916  df-card 8725  df-ac 8899
This theorem is referenced by:  dfac10  8919  weth  9277  dfac11  37151
  Copyright terms: Public domain W3C validator