Theorem dfac8clem 9452

Description: Lemma for dfac8c 9453. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
dfac8clem.1	⊢ 𝐹 = (𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↦ (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))

Assertion

Ref	Expression
dfac8clem	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝐴 → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑓,𝑟,𝑠,𝑧,𝐴   𝐵,𝑟,𝑠   𝑓,𝐹,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧,𝑓,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑠,𝑟,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem dfac8clem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4712	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↔ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅))
2		elssuni 4860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐴 → 𝑠 ⊆ ∪ 𝐴)
3	2	ad2antrl 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅)) → 𝑠 ⊆ ∪ 𝐴)
4		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅)) → 𝑟 We ∪ 𝐴)
5		vex 3497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑟 ∈ V
6		exse2 7616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ V → 𝑟 Se ∪ 𝐴)
7	5, 6	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅)) → 𝑟 Se ∪ 𝐴)
8		simprr 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅)) → 𝑠 ≠ ∅)
9		wereu2 5546	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑟 We ∪ 𝐴 ∧ 𝑟 Se ∪ 𝐴) ∧ (𝑠 ⊆ ∪ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅)) → ∃!𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎)
10	4, 7, 3, 8, 9	syl22anc 836	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅)) → ∃!𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎)
11		riotacl 7125	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃!𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎 → (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ 𝑠)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅)) → (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ 𝑠)
13	3, 12	sseldd 3967	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅)) → (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ ∪ 𝐴)
14	1, 13	sylan2b 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅})) → (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ ∪ 𝐴)
15		dfac8clem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↦ (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
16	14, 15	fmptd 6872	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) → 𝐹:(𝐴 ∖ {∅})⟶∪ 𝐴)
17		difexg 5223	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V)
18	17	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) → (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V)
19		uniexg 7460	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ∪ 𝐴 ∈ V)
20	19	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) → ∪ 𝐴 ∈ V)
21		fex2 7632	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:(𝐴 ∖ {∅})⟶∪ 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V ∧ ∪ 𝐴 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
22	16, 18, 20, 21	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) → 𝐹 ∈ V)
23		riotaex 7112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ V
24	15	fvmpt2 6773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ∧ (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎) ∈ V) → (𝐹‘𝑠) = (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
25	23, 24	mpan2 689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) → (𝐹‘𝑠) = (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
26	1, 25	sylbir 237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → (𝐹‘𝑠) = (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
27	26	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅)) → (𝐹‘𝑠) = (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
28	27, 12	eqeltrd 2913	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≠ ∅)) → (𝐹‘𝑠) ∈ 𝑠)
29	28	expr 459	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑠 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑠) ∈ 𝑠))
30	29	ralrimiva 3182	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) → ∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑠 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑠) ∈ 𝑠))
31		nfv 1911	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑠 𝑧 ≠ ∅
32		nfmpt1 5156	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑠(𝑠 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↦ (℩𝑎 ∈ 𝑠 ∀𝑏 ∈ 𝑠 ¬ 𝑏𝑟𝑎))
33	15, 32	nfcxfr 2975	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑠𝐹
34		nfcv 2977	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑠𝑧
35	33, 34	nffv 6674	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑠(𝐹‘𝑧)
36	35	nfel1 2994	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑠(𝐹‘𝑧) ∈ 𝑧
37	31, 36	nfim 1893	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑠(𝑧 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑧)
38		nfv 1911	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑠 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑠) ∈ 𝑠)
39		neeq1 3078	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → (𝑧 ≠ ∅ ↔ 𝑠 ≠ ∅))
40		fveq2 6664	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑠))
41		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → 𝑧 = 𝑠)
42	40, 41	eleq12d 2907	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → ((𝐹‘𝑧) ∈ 𝑧 ↔ (𝐹‘𝑠) ∈ 𝑠))
43	39, 42	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → ((𝑧 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ (𝑠 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑠) ∈ 𝑠)))
44	37, 38, 43	cbvralw 3441	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑠 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑠) ∈ 𝑠))
45	30, 44	sylibr 236	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑧))
46		fveq1 6663	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
47	46	eleq1d 2897	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧 ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑧))
48	47	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑧)))
49	48	ralbidv 3197	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑧)))
50	22, 45, 49	spcedv 3598	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 We ∪ 𝐴) → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
51	50	ex 415	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑟 We ∪ 𝐴 → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
52	51	exlimdv 1930	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝐴 → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533  ∃wex 1776   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  ∃!wreu 3140  Vcvv 3494   ∖ cdif 3932   ⊆ wss 3935  ∅c0 4290  {csn 4560  ∪ cuni 4831   class class class wbr 5058   ↦ cmpt 5138   Se wse 5506   We wwe 5507  ⟶wf 6345  ‘cfv 6349  ℩crio 7107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-fv 6357  df-riota 7108

This theorem is referenced by:  dfac8c  9453