Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfacbasgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfacbasgrp 39586
Description: A choice equivalent in abstract algebra: All nonempty sets admit a group structure. From http://mathoverflow.net/a/12988. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfacbasgrp (CHOICE ↔ (Base “ Grp) = (V ∖ {∅}))

Proof of Theorem dfacbasgrp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac10 9551 . 2 (CHOICE ↔ dom card = V)
2 basfn 16491 . . . . . . . . . 10 Base Fn V
3 ssv 3988 . . . . . . . . . 10 Grp ⊆ V
4 fvelimab 6730 . . . . . . . . . 10 ((Base Fn V ∧ Grp ⊆ V) → (𝑥 ∈ (Base “ Grp) ↔ ∃𝑦 ∈ Grp (Base‘𝑦) = 𝑥))
52, 3, 4mp2an 688 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (Base “ Grp) ↔ ∃𝑦 ∈ Grp (Base‘𝑦) = 𝑥)
6 eqid 2818 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑦) = (Base‘𝑦)
76grpbn0 18070 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ Grp → (Base‘𝑦) ≠ ∅)
8 neeq1 3075 . . . . . . . . . . 11 ((Base‘𝑦) = 𝑥 → ((Base‘𝑦) ≠ ∅ ↔ 𝑥 ≠ ∅))
97, 8syl5ibcom 246 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ Grp → ((Base‘𝑦) = 𝑥𝑥 ≠ ∅))
109rexlimiv 3277 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ Grp (Base‘𝑦) = 𝑥𝑥 ≠ ∅)
115, 10sylbi 218 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (Base “ Grp) → 𝑥 ≠ ∅)
1211adantl 482 . . . . . . 7 ((dom card = V ∧ 𝑥 ∈ (Base “ Grp)) → 𝑥 ≠ ∅)
13 vex 3495 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
1412, 13jctil 520 . . . . . 6 ((dom card = V ∧ 𝑥 ∈ (Base “ Grp)) → (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅))
15 ablgrp 18840 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ Abel → 𝑥 ∈ Grp)
1615ssriv 3968 . . . . . . . 8 Abel ⊆ Grp
17 imass2 5958 . . . . . . . 8 (Abel ⊆ Grp → (Base “ Abel) ⊆ (Base “ Grp))
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . 7 (Base “ Abel) ⊆ (Base “ Grp)
19 simprl 767 . . . . . . . . 9 ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ V)
20 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → dom card = V)
2119, 20eleqtrrd 2913 . . . . . . . 8 ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ dom card)
22 simprr 769 . . . . . . . 8 ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ≠ ∅)
23 isnumbasgrplem3 39583 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ dom card ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 𝑥 ∈ (Base “ Abel))
2421, 22, 23syl2anc 584 . . . . . . 7 ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ (Base “ Abel))
2518, 24sseldi 3962 . . . . . 6 ((dom card = V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ (Base “ Grp))
2614, 25impbida 797 . . . . 5 (dom card = V → (𝑥 ∈ (Base “ Grp) ↔ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅)))
27 eldifsn 4711 . . . . 5 (𝑥 ∈ (V ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅))
2826, 27syl6bbr 290 . . . 4 (dom card = V → (𝑥 ∈ (Base “ Grp) ↔ 𝑥 ∈ (V ∖ {∅})))
2928eqrdv 2816 . . 3 (dom card = V → (Base “ Grp) = (V ∖ {∅}))
30 fvex 6676 . . . . . . . . . 10 (har‘𝑥) ∈ V
3113, 30unex 7458 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ V
32 ssun2 4146 . . . . . . . . . 10 (har‘𝑥) ⊆ (𝑥 ∪ (har‘𝑥))
33 harn0 39580 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ V → (har‘𝑥) ≠ ∅)
3413, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (har‘𝑥) ≠ ∅
35 ssn0 4351 . . . . . . . . . 10 (((har‘𝑥) ⊆ (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∧ (har‘𝑥) ≠ ∅) → (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ≠ ∅)
3632, 34, 35mp2an 688 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ≠ ∅
37 eldifsn 4711 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ (V ∖ {∅}) ↔ ((𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ V ∧ (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ≠ ∅))
3831, 36, 37mpbir2an 707 . . . . . . . 8 (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ (V ∖ {∅})
3938a1i 11 . . . . . . 7 ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ (V ∖ {∅}))
40 id 22 . . . . . . 7 ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → (Base “ Grp) = (V ∖ {∅}))
4139, 40eleqtrrd 2913 . . . . . 6 ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ (Base “ Grp))
42 isnumbasgrp 39585 . . . . . 6 (𝑥 ∈ dom card ↔ (𝑥 ∪ (har‘𝑥)) ∈ (Base “ Grp))
4341, 42sylibr 235 . . . . 5 ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → 𝑥 ∈ dom card)
4413a1i 11 . . . . 5 ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → 𝑥 ∈ V)
4543, 442thd 266 . . . 4 ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → (𝑥 ∈ dom card ↔ 𝑥 ∈ V))
4645eqrdv 2816 . . 3 ((Base “ Grp) = (V ∖ {∅}) → dom card = V)
4729, 46impbii 210 . 2 (dom card = V ↔ (Base “ Grp) = (V ∖ {∅}))
481, 47bitri 276 1 (CHOICE ↔ (Base “ Grp) = (V ∖ {∅}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136  Vcvv 3492  cdif 3930  cun 3931  wss 3933  c0 4288  {csn 4557  dom cdm 5548  cima 5551   Fn wfn 6343  cfv 6348  harchar 9008  cardccrd 9352  CHOICEwac 9529  Basecbs 16471  Grpcgrp 18041  Abelcabl 18836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-seqom 8073  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-ec 8280  df-qs 8284  df-map 8397  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-har 9010  df-wdom 9011  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-ac 9530  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-hash 13679  df-dvds 15596  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-0g 16703  df-prds 16709  df-pws 16711  df-imas 16769  df-qus 16770  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-nsg 18215  df-eqg 18216  df-ghm 18294  df-gim 18337  df-gic 18338  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-rnghom 19396  df-subrg 19462  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lsp 19673  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-lidl 19875  df-rsp 19876  df-2idl 19933  df-cnfld 20474  df-zring 20546  df-zrh 20579  df-zn 20582  df-dsmm 20804  df-frlm 20819
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator