HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  dfadj2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfadj2 27922
Description: Alternate definition of the adjoint of a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 20-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dfadj2 adj = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡𝑦)) = ((𝑢𝑥) ·ih 𝑦))}
Distinct variable group:   𝑢,𝑡,𝑥,𝑦

Proof of Theorem dfadj2
StepHypRef Expression
1 df-adjh 27886 . 2 adj = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑡𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑢𝑦)))}
2 adjsym 27870 . . . . . 6 ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡𝑦)) = ((𝑢𝑥) ·ih 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑢𝑦)) = ((𝑡𝑥) ·ih 𝑦)))
3 eqcom 2617 . . . . . . 7 (((𝑡𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑢𝑦)) ↔ (𝑥 ·ih (𝑢𝑦)) = ((𝑡𝑥) ·ih 𝑦))
432ralbii 2964 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑡𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑢𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑢𝑦)) = ((𝑡𝑥) ·ih 𝑦))
52, 4syl6rbbr 278 . . . . 5 ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑡𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑢𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡𝑦)) = ((𝑢𝑥) ·ih 𝑦)))
65pm5.32i 667 . . . 4 (((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑡𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑢𝑦))) ↔ ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡𝑦)) = ((𝑢𝑥) ·ih 𝑦)))
7 df-3an 1033 . . . 4 ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑡𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑢𝑦))) ↔ ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑡𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑢𝑦))))
8 df-3an 1033 . . . 4 ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡𝑦)) = ((𝑢𝑥) ·ih 𝑦)) ↔ ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡𝑦)) = ((𝑢𝑥) ·ih 𝑦)))
96, 7, 83bitr4i 291 . . 3 ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑡𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑢𝑦))) ↔ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡𝑦)) = ((𝑢𝑥) ·ih 𝑦)))
109opabbii 4644 . 2 {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑡𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑢𝑦)))} = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡𝑦)) = ((𝑢𝑥) ·ih 𝑦))}
111, 10eqtri 2632 1 adj = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡𝑦)) = ((𝑢𝑥) ·ih 𝑦))}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wral 2896  {copab 4637  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  chil 26954   ·ih csp 26957  adjcado 26990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-hfi 27114  ax-his1 27117
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4368  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-2 10929  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-adjh 27886
This theorem is referenced by:  funadj  27923  dmadjss  27924  adjeu  27926  adjval  27927  cnvadj  27929  adj1  27970  cnlnssadj  28117
  Copyright terms: Public domain W3C validator