Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfaimafn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfaimafn 43241
Description: Alternate definition of the image of a function, analogous to dfimafn 6721. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2017.)
Assertion
Ref Expression
dfaimafn ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝐴) = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 (𝐹'''𝑥) = 𝑦})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem dfaimafn
StepHypRef Expression
1 ssel 3958 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ dom 𝐹 → (𝑥𝐴𝑥 ∈ dom 𝐹))
2 funbrafvb 43232 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹'''𝑥) = 𝑦𝑥𝐹𝑦))
32ex 413 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → (𝑥 ∈ dom 𝐹 → ((𝐹'''𝑥) = 𝑦𝑥𝐹𝑦)))
41, 3syl9r 78 . . . . 5 (Fun 𝐹 → (𝐴 ⊆ dom 𝐹 → (𝑥𝐴 → ((𝐹'''𝑥) = 𝑦𝑥𝐹𝑦))))
54imp31 418 . . . 4 (((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹'''𝑥) = 𝑦𝑥𝐹𝑦))
65rexbidva 3293 . . 3 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (∃𝑥𝐴 (𝐹'''𝑥) = 𝑦 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑥𝐹𝑦))
76abbidv 2882 . 2 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 (𝐹'''𝑥) = 𝑦} = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑥𝐹𝑦})
8 dfima2 5924 . 2 (𝐹𝐴) = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑥𝐹𝑦}
97, 8syl6reqr 2872 1 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝐴) = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 (𝐹'''𝑥) = 𝑦})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  {cab 2796  wrex 3136  wss 3933   class class class wbr 5057  dom cdm 5548  cima 5551  Fun wfun 6342  '''cafv 43193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-br 5058  df-opab 5120  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-fv 6356  df-aiota 43162  df-dfat 43195  df-afv 43196
This theorem is referenced by:  dfaimafn2  43242
  Copyright terms: Public domain W3C validator