Theorem dfcoels 35677

Description: Alternate definition of the class of coelements on the class 𝐴. (Contributed by Peter Mazsa, 20-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dfcoels	⊢ ∼ 𝐴 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑢)}

Distinct variable group:   𝑢,𝐴,𝑥,𝑦

Proof of Theorem dfcoels

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-coels 35662	. 2 ⊢ ∼ 𝐴 = ≀ (◡ E ↾ 𝐴)
2		1cossres 35676	. 2 ⊢ ≀ (◡ E ↾ 𝐴) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑢◡ E 𝑦)}
3		brcnvep 35528	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ V → (𝑢◡ E 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝑢))
4	3	elv 3501	. . . . 5 ⊢ (𝑢◡ E 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝑢)
5		brcnvep 35528	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ V → (𝑢◡ E 𝑦 ↔ 𝑦 ∈ 𝑢))
6	5	elv 3501	. . . . 5 ⊢ (𝑢◡ E 𝑦 ↔ 𝑦 ∈ 𝑢)
7	4, 6	anbi12i 628	. . . 4 ⊢ ((𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑢◡ E 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑢))
8	7	rexbii 3249	. . 3 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑢◡ E 𝑦) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑢))
9	8	opabbii 5135	. 2 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑢◡ E 𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑢)}
10	1, 2, 9	3eqtri 2850	1 ⊢ ∼ 𝐴 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑢)}

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537  ∃wrex 3141  Vcvv 3496   class class class wbr 5068  {copab 5130   E cep 5466  ^◡ccnv 5556   ↾ cres 5559   ≀ ccoss 35455   ∼ ccoels 35456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pr 5332

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-br 5069  df-opab 5131  df-eprel 5467  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-res 5569  df-coss 35661  df-coels 35662

This theorem is referenced by:  brcoels  35682