MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfdec10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfdec10 11331
Description: Version of the definition of the "decimal constructor" using 10 instead of the symbol 10. Of course, this statement cannot be used as definition, because it uses the "decimal constructor". (Contributed by AV, 1-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
dfdec10 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)

Proof of Theorem dfdec10
StepHypRef Expression
1 df-dec 11328 . 2 𝐴𝐵 = (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵)
2 9p1e10 11330 . . . 4 (9 + 1) = 10
32oveq1i 6536 . . 3 ((9 + 1) · 𝐴) = (10 · 𝐴)
43oveq1i 6536 . 2 (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵) = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
51, 4eqtri 2631 1 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1474  (class class class)co 6526  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797  9c9 10926  cdc 11327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-ov 6529  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-ltxr 9935  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-5 10931  df-6 10932  df-7 10933  df-8 10934  df-9 10935  df-dec 11328
This theorem is referenced by:  decnncl  11352  dec0u  11354  dec0h  11356  decnncl2  11359  declt  11364  decltc  11366  decsuc  11369  decle  11374  declti  11380  decsucc  11384  dec10p  11387  decma  11398  decmac  11400  decma2c  11402  decadd  11404  decaddc  11406  decsubi  11417  decmul1  11419  decmul1c  11421  decmul2c  11423  decmul10add  11427  5t5e25  11473  6t6e36  11480  8t6e48  11493  9t11e99  11505  3dec  12869  bpoly4  14577  3dvdsdec  14840  dec2dvds  15553  dec5dvds  15554  dec5nprm  15556  dec2nprm  15557  decsplit1  15572  decsplit  15573  4001lem1  15634  1t10e1p1e11  39721  3exp4mod41  39855  41prothprmlem1  39856  41prothprm  39858  tgoldbachlt  40014  dpfrac1  42254
  Copyright terms: Public domain W3C validator