MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfdec10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfdec10 11687
Description: Version of the definition of the "decimal constructor" using 10 instead of the symbol 10. Of course, this statement cannot be used as definition, because it uses the "decimal constructor". (Contributed by AV, 1-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
dfdec10 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)

Proof of Theorem dfdec10
StepHypRef Expression
1 df-dec 11684 . 2 𝐴𝐵 = (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵)
2 9p1e10 11686 . . . 4 (9 + 1) = 10
32oveq1i 6821 . . 3 ((9 + 1) · 𝐴) = (10 · 𝐴)
43oveq1i 6821 . 2 (((9 + 1) · 𝐴) + 𝐵) = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
51, 4eqtri 2780 1 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1630  (class class class)co 6811  0cc0 10126  1c1 10127   + caddc 10129   · cmul 10131  9c9 11267  cdc 11683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-ov 6814  df-om 7229  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-er 7909  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-ltxr 10269  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-4 11271  df-5 11272  df-6 11273  df-7 11274  df-8 11275  df-9 11276  df-dec 11684
This theorem is referenced by:  decnncl  11708  dec0u  11710  dec0h  11712  decnncl2  11715  declt  11720  decltc  11722  decsuc  11725  decle  11730  declti  11736  decsucc  11740  dec10p  11743  decma  11754  decmac  11756  decma2c  11758  decadd  11760  decaddc  11762  decsubi  11773  decmul1  11775  decmul1c  11777  decmul2c  11779  decmul10add  11783  5t5e25  11829  6t6e36  11836  8t6e48  11849  9t11e99  11861  3dec  13242  bpoly4  14987  3dvdsdec  15254  dec2dvds  15967  dec5dvds  15968  dec5nprm  15970  dec2nprm  15971  decsplit1  15986  decsplit  15987  4001lem1  16048  dfdec100  29883  dpfrac1  29906  dpmul10  29910  dpmul100  29912  dp3mul10  29913  dpmul1000  29914  dpmul  29928  dpmul4  29929  1t10e1p1e11  41827  3exp4mod41  42041  41prothprmlem1  42042  41prothprm  42044  tgoldbachlt  42212
  Copyright terms: Public domain W3C validator