Theorem dfdm4 5763

Description: Alternate definition of domain. (Contributed by NM, 28-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfdm4	⊢ dom 𝐴 = ran ◡𝐴

Proof of Theorem dfdm4

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3497	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
2		vex 3497	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	1, 2	brcnv 5752	. . . 4 ⊢ (𝑦◡𝐴𝑥 ↔ 𝑥𝐴𝑦)
4	3	exbii 1844	. . 3 ⊢ (∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥 ↔ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦)
5	4	abbii 2886	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥} = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦}
6		dfrn2 5758	. 2 ⊢ ran ◡𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑦◡𝐴𝑥}
7		df-dm 5564	. 2 ⊢ dom 𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦}
8	5, 6, 7	3eqtr4ri 2855	1 ⊢ dom 𝐴 = ran ◡𝐴

Syntax hints:   = wceq 1533  ∃wex 1776  {cab 2799   class class class wbr 5065  ^◡ccnv 5553  dom cdm 5554  ran crn 5555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pr 5329

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-br 5066  df-opab 5128  df-cnv 5562  df-dm 5564  df-rn 5565

This theorem is referenced by:  dmcnvcnv  5802  rncnvcnv  5803  rncoeq  5845  cnvimass  5948  cnvimarndm  5949  dminxp  6036  cnvsn0  6066  rnsnopg  6077  dmmpt  6093  dmco  6106  cores2  6111  cnvssrndm  6121  unidmrn  6129  dfdm2  6131  funimacnv  6434  foimacnv  6631  funcocnv2  6638  fimacnv  6838  f1opw2  7399  cnvexg  7628  tz7.48-3  8079  fopwdom  8624  sbthlem4  8629  fodomr  8667  f1opwfi  8827  zorn2lem4  9920  trclublem  14354  relexpcnv  14393  unbenlem  16243  gsumpropd2lem  17888  pjdm  20850  paste  21901  hmeores  22378  icchmeo  23544  fcnvgreu  30417  ffsrn  30464  gsummpt2co  30686  tocycfvres1  30752  tocycfvres2  30753  cycpmfvlem  30754  cycpmfv3  30757  coinfliprv  31740  itg2addnclem2  34943  rncnv  35557  lnmlmic  39686  dmnonrel  39948  cnvrcl0  39983  conrel1d  40006