Theorem dfeven2 43821

Description: Alternate definition for even numbers. (Contributed by AV, 18-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfeven2	⊢ Even = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 2 ∥ 𝑧}

Proof of Theorem dfeven2

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfeven4 43810	. 2 ⊢ Even = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑖)}
2		eqcom 2831	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (2 · 𝑖) ↔ (2 · 𝑖) = 𝑧)
3		2cnd 11718	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
4		zcn 11989	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℂ)
5	4	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℂ)
6	3, 5	mulcomd 10665	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (2 · 𝑖) = (𝑖 · 2))
7	6	eqeq1d 2826	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑖) = 𝑧 ↔ (𝑖 · 2) = 𝑧))
8	2, 7	syl5bb 285	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑧 = (2 · 𝑖) ↔ (𝑖 · 2) = 𝑧))
9	8	rexbidva 3299	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ (𝑖 · 2) = 𝑧))
10		2z 12017	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
11		divides 15612	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑧 ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ (𝑖 · 2) = 𝑧))
12	10, 11	mpan 688	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑧 ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ (𝑖 · 2) = 𝑧))
13	9, 12	bitr4d 284	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑖) ↔ 2 ∥ 𝑧))
14	13	rabbiia 3475	. 2 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑖)} = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 2 ∥ 𝑧}
15	1, 14	eqtri 2847	1 ⊢ Even = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 2 ∥ 𝑧}

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3142  {crab 3145   class class class wbr 5069  (class class class)co 7159  ℂcc 10538   · cmul 10545  2c2 11695  ℤcz 11984   ∥ cdvds 15610   Even ceven 43796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-z 11985  df-dvds 15611  df-even 43798

This theorem is referenced by:  iseven2  43823