MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfle2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfle2 12173
Description: Alternative definition of 'less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfle2 ≤ = ( < ∪ ( I ↾ ℝ*))

Proof of Theorem dfle2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lerel 10294 . 2 Rel ≤
2 ltrelxr 10291 . . . 4 < ⊆ (ℝ* × ℝ*)
3 f1oi 6335 . . . . 5 ( I ↾ ℝ*):ℝ*1-1-onto→ℝ*
4 f1of 6298 . . . . 5 (( I ↾ ℝ*):ℝ*1-1-onto→ℝ* → ( I ↾ ℝ*):ℝ*⟶ℝ*)
5 fssxp 6221 . . . . 5 (( I ↾ ℝ*):ℝ*⟶ℝ* → ( I ↾ ℝ*) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
63, 4, 5mp2b 10 . . . 4 ( I ↾ ℝ*) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
72, 6unssi 3931 . . 3 ( < ∪ ( I ↾ ℝ*)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
8 relxp 5283 . . 3 Rel (ℝ* × ℝ*)
9 relss 5363 . . 3 (( < ∪ ( I ↾ ℝ*)) ⊆ (ℝ* × ℝ*) → (Rel (ℝ* × ℝ*) → Rel ( < ∪ ( I ↾ ℝ*))))
107, 8, 9mp2 9 . 2 Rel ( < ∪ ( I ↾ ℝ*))
11 lerelxr 10293 . . . 4 ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
1211brel 5325 . . 3 (𝑥𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
137brel 5325 . . 3 (𝑥( < ∪ ( I ↾ ℝ*))𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
14 xrleloe 12170 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦)))
15 resieq 5565 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥( I ↾ ℝ*)𝑦𝑥 = 𝑦))
1615orbi2d 740 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝑦𝑥( I ↾ ℝ*)𝑦) ↔ (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦)))
1714, 16bitr4d 271 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑥( I ↾ ℝ*)𝑦)))
18 brun 4855 . . . 4 (𝑥( < ∪ ( I ↾ ℝ*))𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑥( I ↾ ℝ*)𝑦))
1917, 18syl6bbr 278 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦𝑥( < ∪ ( I ↾ ℝ*))𝑦))
2012, 13, 19pm5.21nii 367 . 2 (𝑥𝑦𝑥( < ∪ ( I ↾ ℝ*))𝑦)
211, 10, 20eqbrriv 5372 1 ≤ = ( < ∪ ( I ↾ ℝ*))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wo 382  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  cun 3713  wss 3715   class class class wbr 4804   I cid 5173   × cxp 5264  cres 5268  Rel wrel 5271  wf 6045  1-1-ontowf1o 6048  *cxr 10265   < clt 10266  cle 10267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator