Theorem dfle2 11924

Description: Alternative definition of 'less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfle2	⊢ ≤ = ( < ∪ ( I ↾ ℝ*))

Proof of Theorem dfle2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lerel 10046	. 2 ⊢ Rel ≤
2		ltrelxr 10043	. . . 4 ⊢ < ⊆ (ℝ* × ℝ*)
3		f1oi 6131	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ ℝ*):ℝ*–1-1-onto→ℝ*
4		f1of 6094	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ ℝ*):ℝ*–1-1-onto→ℝ* → ( I ↾ ℝ*):ℝ*⟶ℝ*)
5		fssxp 6017	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ ℝ*):ℝ*⟶ℝ* → ( I ↾ ℝ*) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
6	3, 4, 5	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℝ*) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
7	2, 6	unssi 3766	. . 3 ⊢ ( < ∪ ( I ↾ ℝ*)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
8		relxp 5188	. . 3 ⊢ Rel (ℝ* × ℝ*)
9		relss 5167	. . 3 ⊢ (( < ∪ ( I ↾ ℝ*)) ⊆ (ℝ* × ℝ*) → (Rel (ℝ* × ℝ*) → Rel ( < ∪ ( I ↾ ℝ*))))
10	7, 8, 9	mp2 9	. 2 ⊢ Rel ( < ∪ ( I ↾ ℝ*))
11		lerelxr 10045	. . . 4 ⊢ ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
12	11	brel 5128	. . 3 ⊢ (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*))
13	7	brel 5128	. . 3 ⊢ (𝑥( < ∪ ( I ↾ ℝ*))𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*))
14		xrleloe 11921	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦)))
15		resieq 5366	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥( I ↾ ℝ*)𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
16	15	orbi2d 737	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥( I ↾ ℝ*)𝑦) ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦)))
17	14, 16	bitr4d 271	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥( I ↾ ℝ*)𝑦)))
18		brun 4663	. . . 4 ⊢ (𝑥( < ∪ ( I ↾ ℝ*))𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥( I ↾ ℝ*)𝑦))
19	17, 18	syl6bbr 278	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑥( < ∪ ( I ↾ ℝ*))𝑦))
20	12, 13, 19	pm5.21nii 368	. 2 ⊢ (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑥( < ∪ ( I ↾ ℝ*))𝑦)
21	1, 10, 20	eqbrriv 5176	1 ⊢ ≤ = ( < ∪ ( I ↾ ℝ*))

Syntax hints:   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ∪ cun 3553   ⊆ wss 3555   class class class wbr 4613   I cid 4984   × cxp 5072   ↾ cres 5076  Rel wrel 5079  ⟶wf 5843  –1-1-onto→wf1o 5846  ℝ^*cxr 10017   < clt 10018   ≤ cle 10019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024

This theorem is referenced by: (None)