MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfle2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfle2 11924
Description: Alternative definition of 'less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfle2 ≤ = ( < ∪ ( I ↾ ℝ*))

Proof of Theorem dfle2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lerel 10046 . 2 Rel ≤
2 ltrelxr 10043 . . . 4 < ⊆ (ℝ* × ℝ*)
3 f1oi 6131 . . . . 5 ( I ↾ ℝ*):ℝ*1-1-onto→ℝ*
4 f1of 6094 . . . . 5 (( I ↾ ℝ*):ℝ*1-1-onto→ℝ* → ( I ↾ ℝ*):ℝ*⟶ℝ*)
5 fssxp 6017 . . . . 5 (( I ↾ ℝ*):ℝ*⟶ℝ* → ( I ↾ ℝ*) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
63, 4, 5mp2b 10 . . . 4 ( I ↾ ℝ*) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
72, 6unssi 3766 . . 3 ( < ∪ ( I ↾ ℝ*)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
8 relxp 5188 . . 3 Rel (ℝ* × ℝ*)
9 relss 5167 . . 3 (( < ∪ ( I ↾ ℝ*)) ⊆ (ℝ* × ℝ*) → (Rel (ℝ* × ℝ*) → Rel ( < ∪ ( I ↾ ℝ*))))
107, 8, 9mp2 9 . 2 Rel ( < ∪ ( I ↾ ℝ*))
11 lerelxr 10045 . . . 4 ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
1211brel 5128 . . 3 (𝑥𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
137brel 5128 . . 3 (𝑥( < ∪ ( I ↾ ℝ*))𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
14 xrleloe 11921 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦)))
15 resieq 5366 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥( I ↾ ℝ*)𝑦𝑥 = 𝑦))
1615orbi2d 737 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝑦𝑥( I ↾ ℝ*)𝑦) ↔ (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦)))
1714, 16bitr4d 271 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑥( I ↾ ℝ*)𝑦)))
18 brun 4663 . . . 4 (𝑥( < ∪ ( I ↾ ℝ*))𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑥( I ↾ ℝ*)𝑦))
1917, 18syl6bbr 278 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦𝑥( < ∪ ( I ↾ ℝ*))𝑦))
2012, 13, 19pm5.21nii 368 . 2 (𝑥𝑦𝑥( < ∪ ( I ↾ ℝ*))𝑦)
211, 10, 20eqbrriv 5176 1 ≤ = ( < ∪ ( I ↾ ℝ*))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cun 3553  wss 3555   class class class wbr 4613   I cid 4984   × cxp 5072  cres 5076  Rel wrel 5079  wf 5843  1-1-ontowf1o 5846  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator