Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dflt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dflt2 11933
 Description: Alternative definition of 'less than' in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
dflt2 < = ( ≤ ∖ I )

Proof of Theorem dflt2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrel 10052 . 2 Rel <
2 difss 3720 . . 3 ( ≤ ∖ I ) ⊆ ≤
3 lerel 10054 . . 3 Rel ≤
4 relss 5172 . . 3 (( ≤ ∖ I ) ⊆ ≤ → (Rel ≤ → Rel ( ≤ ∖ I )))
52, 3, 4mp2 9 . 2 Rel ( ≤ ∖ I )
6 ltrelxr 10051 . . . 4 < ⊆ (ℝ* × ℝ*)
76brel 5133 . . 3 (𝑥 < 𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
8 lerelxr 10053 . . . . 5 ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
92, 8sstri 3596 . . . 4 ( ≤ ∖ I ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
109brel 5133 . . 3 (𝑥( ≤ ∖ I )𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
11 xrltlen 11931 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥𝑦𝑦𝑥)))
12 equcom 1942 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥𝑥 = 𝑦)
13 vex 3192 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
1413ideq 5239 . . . . . . . 8 (𝑥 I 𝑦𝑥 = 𝑦)
1512, 14bitr4i 267 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥𝑥 I 𝑦)
1615necon3abii 2836 . . . . . 6 (𝑦𝑥 ↔ ¬ 𝑥 I 𝑦)
1716anbi2i 729 . . . . 5 ((𝑥𝑦𝑦𝑥) ↔ (𝑥𝑦 ∧ ¬ 𝑥 I 𝑦))
1811, 17syl6bb 276 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥𝑦 ∧ ¬ 𝑥 I 𝑦)))
19 brdif 4670 . . . 4 (𝑥( ≤ ∖ I )𝑦 ↔ (𝑥𝑦 ∧ ¬ 𝑥 I 𝑦))
2018, 19syl6bbr 278 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦𝑥( ≤ ∖ I )𝑦))
217, 10, 20pm5.21nii 368 . 2 (𝑥 < 𝑦𝑥( ≤ ∖ I )𝑦)
221, 5, 21eqbrriv 5181 1 < = ( ≤ ∖ I )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790   ∖ cdif 3556   ⊆ wss 3559   class class class wbr 4618   I cid 4989   × cxp 5077  Rel wrel 5084  ℝ*cxr 10025   < clt 10026   ≤ cle 10027 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032 This theorem is referenced by:  relt  19893  xrslt  29485
 Copyright terms: Public domain W3C validator