Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfodd4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfodd4 39934
Description: Alternate definition for odd numbers. (Contributed by AV, 18-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
dfodd4 Odd = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 mod 2) = 1}

Proof of Theorem dfodd4
StepHypRef Expression
1 dfodd2 39912 . 2 Odd = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ}
2 peano2zm 11256 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 − 1) ∈ ℤ)
32zred 11317 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 − 1) ∈ ℝ)
4 2rp 11672 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
5 mod0 12495 . . . . 5 (((𝑧 − 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (((𝑧 − 1) mod 2) = 0 ↔ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ))
63, 4, 5sylancl 692 . . . 4 (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 − 1) mod 2) = 0 ↔ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ))
7 zre 11217 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
8 2re 10940 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
10 1lt2 11044 . . . . . 6 1 < 2
1110a1i 11 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℤ → 1 < 2)
12 m1mod0mod1 39774 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (((𝑧 − 1) mod 2) = 0 ↔ (𝑧 mod 2) = 1))
137, 9, 11, 12syl3anc 1317 . . . 4 (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 − 1) mod 2) = 0 ↔ (𝑧 mod 2) = 1))
146, 13bitr3d 268 . . 3 (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ (𝑧 mod 2) = 1))
1514rabbiia 3160 . 2 {𝑧 ∈ ℤ ∣ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ} = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 mod 2) = 1}
161, 15eqtri 2631 1 Odd = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 mod 2) = 1}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 194   = wceq 1474  wcel 1976  {crab 2899   class class class wbr 4577  (class class class)co 6527  cr 9792  0cc0 9793  1c1 9794   < clt 9931  cmin 10118   / cdiv 10536  2c2 10920  cz 11213  +crp 11667   mod cmo 12488   Odd codd 39901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-sup 8209  df-inf 8210  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-rp 11668  df-fl 12413  df-mod 12489  df-odd 39903
This theorem is referenced by:  dfodd5  39935
  Copyright terms: Public domain W3C validator