Theorem dfom3 4622

Description: The class of natural numbers omega can be defined as the smallest "inductive set," which is valid provided we assume the Axiom of Infinity. Definition 6.3 of [Eisenberg] p. 82.

Assertion

Ref	Expression
dfom3	⊢ ω = ∩{x∣(∅ ∈ x ⋀ ∀y ∈ x suc y ∈ x)}

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem dfom3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 2707	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	elintab 2540	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ∩{x∣(∅ ∈ x ⋀ ∀y ∈ x suc y ∈ x)} ↔ ∀x((∅ ∈ x ⋀ ∀y ∈ x suc y ∈ x) → ∅ ∈ x))
3		pm3.26 319	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ x ⋀ ∀y ∈ x suc y ∈ x) → ∅ ∈ x)
4	2, 3	mpgbir 986	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ∩{x∣(∅ ∈ x ⋀ ∀y ∈ x suc y ∈ x)}
5		suceq 3034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y = z → suc y = suc z)
6	5	eleq1d 1537	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y = z → (suc y ∈ x ↔ suc z ∈ x))
7	6	rcla4cv 1870	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀y ∈ x suc y ∈ x → (z ∈ x → suc z ∈ x))
8	7	adantl 388	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ x ⋀ ∀y ∈ x suc y ∈ x) → (z ∈ x → suc z ∈ x))
9	8	a2i 9	. . . . . . 7 ⊢ (((∅ ∈ x ⋀ ∀y ∈ x suc y ∈ x) → z ∈ x) → ((∅ ∈ x ⋀ ∀y ∈ x suc y ∈ x) → suc z ∈ x))
10	9	19.20i 990	. . . . . 6 ⊢ (∀x((∅ ∈ x ⋀ ∀y ∈ x suc y ∈ x) → z ∈ x) → ∀x((∅ ∈ x ⋀ ∀y ∈ x suc y ∈ x) → suc z ∈ x))
11		visset 1809	. . . . . . 7 ⊢ z ∈ V
12	11	elintab 2540	. . . . . 6 ⊢ (z ∈ ∩{x∣(∅ ∈ x ⋀ ∀y ∈ x suc y ∈ x)} ↔ ∀x((∅ ∈ x ⋀ ∀y ∈ x suc y ∈ x) → z ∈ x))
13	11	sucex 3050	. . . . . . 7 ⊢ suc z ∈ V
14	13	elintab 2540	. . . . . 6 ⊢ (suc z ∈ ∩{x∣(∅ ∈ x ⋀ ∀y ∈ x suc y ∈ x)} ↔ ∀x((∅ ∈ x ⋀ ∀y ∈ x suc y ∈ x) → suc z ∈ x))
15	10, 12, 14	3imtr4 219	. . . . 5 ⊢ (z ∈ ∩{x∣(∅ ∈ x ⋀ ∀y ∈ x suc y ∈ x)} → suc z ∈ ∩{x∣(∅ ∈ x ⋀ ∀y ∈ x suc y ∈ x)})
16	15	a1i 8	. . . 4 ⊢ (z ∈ ω → (z ∈ ∩{x∣(∅ ∈ x ⋀ ∀y ∈ x suc y ∈ x)} → suc z ∈ ∩{x∣(∅ ∈ x ⋀ ∀y ∈ x suc y ∈ x)}))
17	16	rgen 1695	. . 3 ⊢ ∀z ∈ ω (z ∈ ∩{x∣(∅ ∈ x ⋀ ∀y ∈ x suc y ∈ x)} → suc z ∈ ∩{x∣(∅ ∈ x ⋀ ∀y ∈ x suc y ∈ x)})
18		peano5 3153	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ ∩{x∣(∅ ∈ x ⋀ ∀y ∈ x suc y ∈ x)} ⋀ ∀z ∈ ω (z ∈ ∩{x∣(∅ ∈ x ⋀ ∀y ∈ x suc y ∈ x)} → suc z ∈ ∩{x∣(∅ ∈ x ⋀ ∀y ∈ x suc y ∈ x)})) → ω ⊆ ∩{x∣(∅ ∈ x ⋀ ∀y ∈ x suc y ∈ x)})
19	4, 17, 18	mp2an 696	. 2 ⊢ ω ⊆ ∩{x∣(∅ ∈ x ⋀ ∀y ∈ x suc y ∈ x)}
20		peano1 3149	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
21		peano2 3150	. . . . 5 ⊢ (y ∈ ω → suc y ∈ ω)
22	21	rgen 1695	. . . 4 ⊢ ∀y ∈ ω suc y ∈ ω
23		omex 4619	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ V
24		eleq2 1532	. . . . . . . 8 ⊢ (x = ω → (∅ ∈ x ↔ ∅ ∈ ω))
25		eleq2 1532	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = ω → (suc y ∈ x ↔ suc y ∈ ω))
26	25	raleqd 1788	. . . . . . . 8 ⊢ (x = ω → (∀y ∈ x suc y ∈ x ↔ ∀y ∈ ω suc y ∈ ω))
27	24, 26	anbi12d 627	. . . . . . 7 ⊢ (x = ω → ((∅ ∈ x ⋀ ∀y ∈ x suc y ∈ x) ↔ (∅ ∈ ω ⋀ ∀y ∈ ω suc y ∈ ω)))
28		eleq2 1532	. . . . . . 7 ⊢ (x = ω → (z ∈ x ↔ z ∈ ω))
29	27, 28	imbi12d 625	. . . . . 6 ⊢ (x = ω → (((∅ ∈ x ⋀ ∀y ∈ x suc y ∈ x) → z ∈ x) ↔ ((∅ ∈ ω ⋀ ∀y ∈ ω suc y ∈ ω) → z ∈ ω)))
30	23, 29	cla4v 1864	. . . . 5 ⊢ (∀x((∅ ∈ x ⋀ ∀y ∈ x suc y ∈ x) → z ∈ x) → ((∅ ∈ ω ⋀ ∀y ∈ ω suc y ∈ ω) → z ∈ ω))
31	12, 30	sylbi 199	. . . 4 ⊢ (z ∈ ∩{x∣(∅ ∈ x ⋀ ∀y ∈ x suc y ∈ x)} → ((∅ ∈ ω ⋀ ∀y ∈ ω suc y ∈ ω) → z ∈ ω))
32	20, 22, 31	mp2ani 699	. . 3 ⊢ (z ∈ ∩{x∣(∅ ∈ x ⋀ ∀y ∈ x suc y ∈ x)} → z ∈ ω)
33	32	ssriv 2065	. 2 ⊢ ∩{x∣(∅ ∈ x ⋀ ∀y ∈ x suc y ∈ x)} ⊆ ω
34	19, 33	eqssi 2074	1 ⊢ ω = ∩{x∣(∅ ∈ x ⋀ ∀y ∈ x suc y ∈ x)}

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223  ∀wal 952   = wceq 954   ∈ wcel 956  {cab 1461  ∀wral 1642   ⊆ wss 2043  ∅c0 2276  ∩cint 2529  suc csuc 2949  ωcom 3131

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2865  ax-inf2 4617

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2500  df-int 2530  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2829  df-po 2839  df-so 2849  df-fr 2916  df-we 2933  df-ord 2950  df-on 2951  df-lim 2952  df-suc 2953  df-om 3132

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