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Theorem dfon2lem9 30743
Description: Lemma for dfon2 30744. A class of new ordinals is well-founded by E. (Contributed by Scott Fenton, 3-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dfon2lem9 (∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → E Fr 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem dfon2lem9
Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssralv 3625 . . . . 5 (𝑧𝐴 → (∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → ∀𝑥𝑧𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)))
2 dfon2lem8 30742 . . . . . . . 8 ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑧𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → (∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧) ∧ 𝑧𝑧))
32simprd 477 . . . . . . 7 ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑧𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → 𝑧𝑧)
4 intss1 4418 . . . . . . . . 9 (𝑡𝑧 𝑧𝑡)
52simpld 473 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑧𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → ∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧))
6 intex 4739 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ≠ ∅ ↔ 𝑧 ∈ V)
7 dfon2lem3 30737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( 𝑧 ∈ V → (∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧) → (Tr 𝑧 ∧ ∀𝑥 𝑧 ¬ 𝑥𝑥)))
87imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧)) → (Tr 𝑧 ∧ ∀𝑥 𝑧 ¬ 𝑥𝑥))
98simprd 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧)) → ∀𝑥 𝑧 ¬ 𝑥𝑥)
10 untelirr 30642 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑥 𝑧 ¬ 𝑥𝑥 → ¬ 𝑧 𝑧)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (( 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧)) → ¬ 𝑧 𝑧)
12 eleq1 2672 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( 𝑧 = 𝑡 → ( 𝑧 𝑧𝑡 𝑧))
1312notbid 306 . . . . . . . . . . . . . 14 ( 𝑧 = 𝑡 → (¬ 𝑧 𝑧 ↔ ¬ 𝑡 𝑧))
1411, 13syl5ibcom 233 . . . . . . . . . . . . 13 (( 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧)) → ( 𝑧 = 𝑡 → ¬ 𝑡 𝑧))
1514a1dd 47 . . . . . . . . . . . 12 (( 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧)) → ( 𝑧 = 𝑡 → ( 𝑧𝑡 → ¬ 𝑡 𝑧)))
168simpld 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (( 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧)) → Tr 𝑧)
17 trss 4680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Tr 𝑧 → (𝑡 𝑧𝑡 𝑧))
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧)) → (𝑡 𝑧𝑡 𝑧))
19 eqss 3579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( 𝑧 = 𝑡 ↔ ( 𝑧𝑡𝑡 𝑧))
2019simplbi2com 654 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 𝑧 → ( 𝑧𝑡 𝑧 = 𝑡))
2118, 20syl6 34 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧)) → (𝑡 𝑧 → ( 𝑧𝑡 𝑧 = 𝑡)))
2221com23 83 . . . . . . . . . . . . . 14 (( 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧)) → ( 𝑧𝑡 → (𝑡 𝑧 𝑧 = 𝑡)))
23 con3 147 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡 𝑧 𝑧 = 𝑡) → (¬ 𝑧 = 𝑡 → ¬ 𝑡 𝑧))
2422, 23syl6 34 . . . . . . . . . . . . 13 (( 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧)) → ( 𝑧𝑡 → (¬ 𝑧 = 𝑡 → ¬ 𝑡 𝑧)))
2524com23 83 . . . . . . . . . . . 12 (( 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧)) → (¬ 𝑧 = 𝑡 → ( 𝑧𝑡 → ¬ 𝑡 𝑧)))
2615, 25pm2.61d 168 . . . . . . . . . . 11 (( 𝑧 ∈ V ∧ ∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧)) → ( 𝑧𝑡 → ¬ 𝑡 𝑧))
276, 26sylanb 487 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑢((𝑢 𝑧 ∧ Tr 𝑢) → 𝑢 𝑧)) → ( 𝑧𝑡 → ¬ 𝑡 𝑧))
285, 27syldan 485 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑧𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → ( 𝑧𝑡 → ¬ 𝑡 𝑧))
294, 28syl5 33 . . . . . . . 8 ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑧𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → (𝑡𝑧 → ¬ 𝑡 𝑧))
3029ralrimiv 2944 . . . . . . 7 ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑧𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → ∀𝑡𝑧 ¬ 𝑡 𝑧)
31 eleq2 2673 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑧 → (𝑡𝑤𝑡 𝑧))
3231notbid 306 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑧 → (¬ 𝑡𝑤 ↔ ¬ 𝑡 𝑧))
3332ralbidv 2965 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑧 → (∀𝑡𝑧 ¬ 𝑡𝑤 ↔ ∀𝑡𝑧 ¬ 𝑡 𝑧))
3433rspcev 3278 . . . . . . 7 (( 𝑧𝑧 ∧ ∀𝑡𝑧 ¬ 𝑡 𝑧) → ∃𝑤𝑧𝑡𝑧 ¬ 𝑡𝑤)
353, 30, 34syl2anc 690 . . . . . 6 ((𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑧𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥)) → ∃𝑤𝑧𝑡𝑧 ¬ 𝑡𝑤)
3635expcom 449 . . . . 5 (∀𝑥𝑧𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → (𝑧 ≠ ∅ → ∃𝑤𝑧𝑡𝑧 ¬ 𝑡𝑤))
371, 36syl6com 36 . . . 4 (∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → (𝑧𝐴 → (𝑧 ≠ ∅ → ∃𝑤𝑧𝑡𝑧 ¬ 𝑡𝑤)))
3837impd 445 . . 3 (∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → ((𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤𝑧𝑡𝑧 ¬ 𝑡𝑤))
3938alrimiv 1841 . 2 (∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → ∀𝑧((𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤𝑧𝑡𝑧 ¬ 𝑡𝑤))
40 df-fr 4984 . . 3 ( E Fr 𝐴 ↔ ∀𝑧((𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤𝑧𝑡𝑧 ¬ 𝑡 E 𝑤))
41 epel 4939 . . . . . . . 8 (𝑡 E 𝑤𝑡𝑤)
4241notbii 308 . . . . . . 7 𝑡 E 𝑤 ↔ ¬ 𝑡𝑤)
4342ralbii 2959 . . . . . 6 (∀𝑡𝑧 ¬ 𝑡 E 𝑤 ↔ ∀𝑡𝑧 ¬ 𝑡𝑤)
4443rexbii 3019 . . . . 5 (∃𝑤𝑧𝑡𝑧 ¬ 𝑡 E 𝑤 ↔ ∃𝑤𝑧𝑡𝑧 ¬ 𝑡𝑤)
4544imbi2i 324 . . . 4 (((𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤𝑧𝑡𝑧 ¬ 𝑡 E 𝑤) ↔ ((𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤𝑧𝑡𝑧 ¬ 𝑡𝑤))
4645albii 1736 . . 3 (∀𝑧((𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤𝑧𝑡𝑧 ¬ 𝑡 E 𝑤) ↔ ∀𝑧((𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤𝑧𝑡𝑧 ¬ 𝑡𝑤))
4740, 46bitri 262 . 2 ( E Fr 𝐴 ↔ ∀𝑧((𝑧𝐴𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤𝑧𝑡𝑧 ¬ 𝑡𝑤))
4839, 47sylibr 222 1 (∀𝑥𝐴𝑦((𝑦𝑥 ∧ Tr 𝑦) → 𝑦𝑥) → E Fr 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  wal 1472   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2776  wral 2892  wrex 2893  Vcvv 3169  wss 3536  wpss 3537  c0 3870   cint 4401   class class class wbr 4574  Tr wtr 4671   E cep 4934   Fr wfr 4981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pr 4825  ax-un 6821
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-ral 2897  df-rex 2898  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-fr 4984  df-suc 5629
This theorem is referenced by:  dfon2  30744
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