Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfrp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfrp2 30417
Description: Alternate definition of the positive real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
dfrp2 + = (0(,)+∞)

Proof of Theorem dfrp2
StepHypRef Expression
1 ltpnf 12503 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
21adantr 481 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 < +∞)
32pm4.71i 560 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑥 < +∞))
4 df-3an 1081 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥𝑥 < +∞) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑥 < +∞))
53, 4bitr4i 279 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥𝑥 < +∞))
6 elrp 12379 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
7 0xr 10676 . . . 4 0 ∈ ℝ*
8 pnfxr 10683 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
9 elioo2 12767 . . . 4 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥𝑥 < +∞)))
107, 8, 9mp2an 688 . . 3 (𝑥 ∈ (0(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥𝑥 < +∞))
115, 6, 103bitr4i 304 . 2 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (0(,)+∞))
1211eqriv 2815 1 + = (0(,)+∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  +∞cpnf 10660  *cxr 10662   < clt 10663  +crp 12377  (,)cioo 12726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-addrcl 10586  ax-rnegex 10596  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-rp 12378  df-ioo 12730
This theorem is referenced by:  omssubadd  31457
  Copyright terms: Public domain W3C validator