Mathbox for Richard Penner < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfrtrcl4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfrtrcl4 38347
 Description: Reflexive-transitive closure of a relation, expressed as the union of the zeroth power and the transitive closure. (Contributed by RP, 5-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
dfrtrcl4 t* = (𝑟 ∈ V ↦ ((𝑟𝑟0) ∪ (t+‘𝑟)))

Proof of Theorem dfrtrcl4
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfrtrcl3 38342 . 2 t* = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟𝑟𝑛))
2 df-n0 11331 . . . . . . 7 0 = (ℕ ∪ {0})
32equncomi 3792 . . . . . 6 0 = ({0} ∪ ℕ)
4 iuneq1 4566 . . . . . 6 (ℕ0 = ({0} ∪ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ({0} ∪ ℕ)(𝑟𝑟𝑛))
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ({0} ∪ ℕ)(𝑟𝑟𝑛)
6 iunxun 4637 . . . . 5 𝑛 ∈ ({0} ∪ ℕ)(𝑟𝑟𝑛) = ( 𝑛 ∈ {0} (𝑟𝑟𝑛) ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛))
75, 6eqtri 2673 . . . 4 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟𝑟𝑛) = ( 𝑛 ∈ {0} (𝑟𝑟𝑛) ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛))
8 c0ex 10072 . . . . . . 7 0 ∈ V
9 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑛 = 0 → (𝑟𝑟𝑛) = (𝑟𝑟0))
108, 9iunxsn 4635 . . . . . 6 𝑛 ∈ {0} (𝑟𝑟𝑛) = (𝑟𝑟0)
1110a1i 11 . . . . 5 (𝑟 ∈ V → 𝑛 ∈ {0} (𝑟𝑟𝑛) = (𝑟𝑟0))
12 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑟 → (𝑥𝑟𝑛) = (𝑟𝑟𝑛))
1312iuneq2d 4579 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑟 𝑛 ∈ ℕ (𝑥𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛))
14 dftrcl3 38329 . . . . . . 7 t+ = (𝑥 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑥𝑟𝑛))
15 nnex 11064 . . . . . . . 8 ℕ ∈ V
16 ovex 6718 . . . . . . . 8 (𝑟𝑟𝑛) ∈ V
1715, 16iunex 7189 . . . . . . 7 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛) ∈ V
1813, 14, 17fvmpt 6321 . . . . . 6 (𝑟 ∈ V → (t+‘𝑟) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛))
1918eqcomd 2657 . . . . 5 (𝑟 ∈ V → 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛) = (t+‘𝑟))
2011, 19uneq12d 3801 . . . 4 (𝑟 ∈ V → ( 𝑛 ∈ {0} (𝑟𝑟𝑛) ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛)) = ((𝑟𝑟0) ∪ (t+‘𝑟)))
217, 20syl5eq 2697 . . 3 (𝑟 ∈ V → 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟𝑟𝑛) = ((𝑟𝑟0) ∪ (t+‘𝑟)))
2221mpteq2ia 4773 . 2 (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟𝑟𝑛)) = (𝑟 ∈ V ↦ ((𝑟𝑟0) ∪ (t+‘𝑟)))
231, 22eqtri 2673 1 t* = (𝑟 ∈ V ↦ ((𝑟𝑟0) ∪ (t+‘𝑟)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ∪ cun 3605  {csn 4210  ∪ ciun 4552   ↦ cmpt 4762  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  ℕcn 11058  ℕ0cn0 11330  t+ctcl 13770  t*crtcl 13771  ↑𝑟crelexp 13804 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-seq 12842  df-trcl 13772  df-rtrcl 13773  df-relexp 13805 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator