Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dftrpred3g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dftrpred3g 31431
Description: The transitive predecessors of 𝑋 are equal to the predecessors of 𝑋 together with their transitive predecessors. (Contributed by Scott Fenton, 26-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
dftrpred3g ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋

Proof of Theorem dftrpred3g
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elun 3731 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∨ 𝑧 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
2 predel 5656 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → 𝑧𝐴)
3 setlikespec 5660 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧𝐴𝑅 Se 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ∈ V)
4 trpredpred 31426 . . . . . . . . . . . . . 14 (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ∈ V → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧))
53, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝐴𝑅 Se 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧))
65expcom 451 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 Se 𝐴 → (𝑧𝐴 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))
76adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑧𝐴 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))
82, 7syl5 34 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))
98ancld 575 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧))))
10 trpredeq3 31420 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑧 → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) = TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧))
1110sseq2d 3612 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ↔ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))
1211rspcev 3295 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))
13 ssiun 4528 . . . . . . . . . 10 (∃𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))
159, 14syl6 35 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
16 eliun 4490 . . . . . . . . 9 (𝑧 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))
17 predel 5656 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → 𝑦𝐴)
18 setlikespec 5660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦𝐴𝑅 Se 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ∈ V)
1918ancoms 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 Se 𝐴𝑦𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ∈ V)
2019adantll 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ∈ V)
21 trpredss 31427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ∈ V → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐴)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐴)
2322sseld 3582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → 𝑧𝐴))
243expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 Se 𝐴 → (𝑧𝐴 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ∈ V))
2524ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑧𝐴 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ∈ V))
2623, 25syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ∈ V))
2726imp 445 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ∈ V)
2827, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧))
29 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
30 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑅 Se 𝐴)
31 trpredelss 31430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
3229, 30, 31syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
3332imp 445 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))
3428, 33sstrd 3593 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))
3534exp31 629 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑦𝐴 → (𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))))
3617, 35syl5 34 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → (𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))))
3736reximdvai 3009 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (∃𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → ∃𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
3837, 13syl6 35 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (∃𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
3916, 38syl5bi 232 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑧 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
4015, 39jaod 395 . . . . . . 7 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → ((𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∨ 𝑧 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
41 ssun4 3757 . . . . . . 7 (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
4240, 41syl6 35 . . . . . 6 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → ((𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∨ 𝑧 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))))
431, 42syl5bi 232 . . . . 5 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑧 ∈ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))))
4443ralrimiv 2959 . . . 4 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑧 ∈ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
45 ssun1 3754 . . . 4 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))
4644, 45jctir 560 . . 3 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (∀𝑧 ∈ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))))
47 trpredmintr 31429 . . 3 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑧 ∈ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
4846, 47mpdan 701 . 2 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
49 setlikespec 5660 . . . 4 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ V)
50 trpredpred 31426 . . . 4 (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ V → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
5149, 50syl 17 . . 3 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
5251sseld 3582 . . . . . 6 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → 𝑦 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))
53 trpredelss 31430 . . . . . 6 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑦 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))
5452, 53syld 47 . . . . 5 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))
5554ralrimiv 2959 . . . 4 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
56 iunss 4527 . . . 4 ( 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ ∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
5755, 56sylibr 224 . . 3 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
5851, 57unssd 3767 . 2 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
5948, 58eqssd 3600 1 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3186  cun 3553  wss 3555   ciun 4485   Se wse 5031  Predcpred 5638  TrPredctrpred 31415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-trpred 31416
This theorem is referenced by:  dftrpred4g  31432
  Copyright terms: Public domain W3C validator