Theorem dftrpred3g 33067

Description: The transitive predecessors of 𝑋 are equal to the predecessors of 𝑋 together with their transitive predecessors. (Contributed by Scott Fenton, 26-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dftrpred3g	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋

Proof of Theorem dftrpred3g

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 4125	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∨ 𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
2		predel 6160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝐴)
3		setlikespec 6164	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ∈ V)
4		trpredpred 33062	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ∈ V → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧))
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧))
6	5	expcom 416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 Se 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐴 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))
7	6	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑧 ∈ 𝐴 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))
8	2, 7	syl5 34	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))
9	8	ancld 553	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧))))
10		trpredeq3 33056	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) = TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧))
11	10	sseq2d 3999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ↔ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))
12	11	rspcev 3623	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))
13		ssiun 4963	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))
15	9, 14	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
16		eliun 4916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))
17		predel 6160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → 𝑦 ∈ 𝐴)
18		setlikespec 6164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ∈ V)
19	18	ancoms 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ∈ V)
20	19	adantll 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ∈ V)
21		trpredss 33063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ∈ V → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐴)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐴)
23	22	sseld 3966	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐴))
24	3	expcom 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 Se 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐴 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ∈ V))
25	24	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ 𝐴 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ∈ V))
26	23, 25	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ∈ V))
27	26	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ∈ V)
28	27, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧))
29		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
30		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑅 Se 𝐴)
31		trpredelss 33066	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
32	29, 30, 31	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
33	32	imp 409	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))
34	28, 33	sstrd 3977	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))
35	34	exp31 422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))))
36	17, 35	syl5 34	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → (𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))))
37	36	reximdvai 3272	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (∃𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → ∃𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
38	37, 13	syl6 35	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (∃𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
39	16, 38	syl5bi 244	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
40	15, 39	jaod 855	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ((𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∨ 𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
41		ssun4 4151	. . . . . . 7 ⊢ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
42	40, 41	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ((𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∨ 𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))))
43	1, 42	syl5bi 244	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑧 ∈ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))))
44	43	ralrimiv 3181	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑧 ∈ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
45		ssun1 4148	. . . 4 ⊢ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))
46	44, 45	jctir 523	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (∀𝑧 ∈ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))))
47		trpredmintr 33065	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑧 ∈ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
48	46, 47	mpdan 685	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
49		setlikespec 6164	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ V)
50		trpredpred 33062	. . . 4 ⊢ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ V → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
51	49, 50	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
52	51	sseld 3966	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → 𝑦 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))
53		trpredelss 33066	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑦 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))
54	52, 53	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))
55	54	ralrimiv 3181	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
56		iunss 4962	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ ∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
57	55, 56	sylibr 236	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
58	51, 57	unssd 4162	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
59	48, 58	eqssd 3984	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  Vcvv 3495   ∪ cun 3934   ⊆ wss 3936  ∪ ciun 4912   Se wse 5507  Predcpred 6142  TrPredctrpred 33051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-trpred 33052

This theorem is referenced by:  dftrpred4g  33068