Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dftrpred3g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dftrpred3g 31959
 Description: The transitive predecessors of 𝑋 are equal to the predecessors of 𝑋 together with their transitive predecessors. (Contributed by Scott Fenton, 26-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
dftrpred3g ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋

Proof of Theorem dftrpred3g
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elun 3861 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∨ 𝑧 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
2 predel 5810 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → 𝑧𝐴)
3 setlikespec 5814 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧𝐴𝑅 Se 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ∈ V)
4 trpredpred 31954 . . . . . . . . . . . . . 14 (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ∈ V → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧))
53, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝐴𝑅 Se 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧))
65expcom 450 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 Se 𝐴 → (𝑧𝐴 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))
76adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑧𝐴 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))
82, 7syl5 34 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))
98ancld 577 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧))))
10 trpredeq3 31948 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑧 → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) = TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧))
1110sseq2d 3739 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ↔ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))
1211rspcev 3413 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))
13 ssiun 4670 . . . . . . . . . 10 (∃𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))
159, 14syl6 35 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
16 eliun 4632 . . . . . . . . 9 (𝑧 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))
17 predel 5810 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → 𝑦𝐴)
18 setlikespec 5814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦𝐴𝑅 Se 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ∈ V)
1918ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 Se 𝐴𝑦𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ∈ V)
2019adantll 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ∈ V)
21 trpredss 31955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ∈ V → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐴)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐴)
2322sseld 3708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → 𝑧𝐴))
243expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 Se 𝐴 → (𝑧𝐴 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ∈ V))
2524ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑧𝐴 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ∈ V))
2623, 25syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ∈ V))
2726imp 444 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ∈ V)
2827, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧))
29 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
30 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑅 Se 𝐴)
31 trpredelss 31958 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
3229, 30, 31syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
3332imp 444 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))
3428, 33sstrd 3719 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))
3534exp31 631 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑦𝐴 → (𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))))
3617, 35syl5 34 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → (𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))))
3736reximdvai 3117 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (∃𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → ∃𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
3837, 13syl6 35 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (∃𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)𝑧 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
3916, 38syl5bi 232 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑧 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
4015, 39jaod 394 . . . . . . 7 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → ((𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∨ 𝑧 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
41 ssun4 3887 . . . . . . 7 (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
4240, 41syl6 35 . . . . . 6 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → ((𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∨ 𝑧 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))))
431, 42syl5bi 232 . . . . 5 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑧 ∈ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))))
4443ralrimiv 3067 . . . 4 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑧 ∈ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
45 ssun1 3884 . . . 4 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))
4644, 45jctir 562 . . 3 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (∀𝑧 ∈ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))))
47 trpredmintr 31957 . . 3 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑧 ∈ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦))Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
4846, 47mpdan 705 . 2 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
49 setlikespec 5814 . . . 4 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ V)
50 trpredpred 31954 . . . 4 (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ V → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
5149, 50syl 17 . . 3 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
5251sseld 3708 . . . . . 6 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → 𝑦 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))
53 trpredelss 31958 . . . . . 6 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑦 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))
5452, 53syld 47 . . . . 5 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))
5554ralrimiv 3067 . . . 4 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
56 iunss 4669 . . . 4 ( 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ ∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
5755, 56sylibr 224 . . 3 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
5851, 57unssd 3897 . 2 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
5948, 58eqssd 3726 1 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∪ 𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1596   ∈ wcel 2103  ∀wral 3014  ∃wrex 3015  Vcvv 3304   ∪ cun 3678   ⊆ wss 3680  ∪ ciun 4628   Se wse 5175  Predcpred 5792  TrPredctrpred 31943 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-om 7183  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-trpred 31944 This theorem is referenced by:  dftrpred4g  31960
 Copyright terms: Public domain W3C validator