MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfuzi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfuzi 12061
Description: An expression for the upper integers that start at 𝑁 that is analogous to dfnn2 11639 for positive integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
dfuzi.1 𝑁 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
dfuzi {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} = {𝑥 ∣ (𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑁

Proof of Theorem dfuzi
StepHypRef Expression
1 ssintab 4884 . . 3 ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ⊆ {𝑥 ∣ (𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ ∀𝑥((𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥) → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ⊆ 𝑥))
2 dfuzi.1 . . . 4 𝑁 ∈ ℤ
32peano5uzi 12059 . . 3 ((𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥) → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ⊆ 𝑥)
41, 3mpgbir 1791 . 2 {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ⊆ {𝑥 ∣ (𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
52zrei 11975 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℝ
65leidi 11162 . . . . 5 𝑁𝑁
7 breq2 5061 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑁 → (𝑁𝑧𝑁𝑁))
87elrab 3677 . . . . 5 (𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑁))
92, 6, 8mpbir2an 707 . . . 4 𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧}
10 peano2uz2 12058 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧}) → (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧})
112, 10mpan 686 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} → (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧})
1211rgen 3145 . . . 4 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧}
13 zex 11978 . . . . . 6 ℤ ∈ V
1413rabex 5226 . . . . 5 {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ∈ V
15 eleq2 2898 . . . . . 6 (𝑥 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} → (𝑁𝑥𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧}))
16 eleq2 2898 . . . . . . 7 (𝑥 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} → ((𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧}))
1716raleqbi1dv 3401 . . . . . 6 (𝑥 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} → (∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧}))
1815, 17anbi12d 630 . . . . 5 (𝑥 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} → ((𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥) ↔ (𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧})))
1914, 18elab 3664 . . . 4 ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ∈ {𝑥 ∣ (𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ↔ (𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} (𝑦 + 1) ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧}))
209, 12, 19mpbir2an 707 . . 3 {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ∈ {𝑥 ∣ (𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
21 intss1 4882 . . 3 ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} ∈ {𝑥 ∣ (𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} → {𝑥 ∣ (𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧})
2220, 21ax-mp 5 . 2 {𝑥 ∣ (𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} ⊆ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧}
234, 22eqssi 3980 1 {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑧} = {𝑥 ∣ (𝑁𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  {cab 2796  wral 3135  {crab 3139  wss 3933   cint 4867   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  1c1 10526   + caddc 10528  cle 10664  cz 11969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator