MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfz2 11476
Description: Alternative definition of the integers, based on elz2 11475. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
dfz2 ℤ = ( − “ (ℕ × ℕ))

Proof of Theorem dfz2
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elz2 11475 . . 3 (𝑥 ∈ ℤ ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑥 = (𝑦𝑧))
2 subf 10364 . . . . 5 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
3 ffn 6126 . . . . 5 ( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → − Fn (ℂ × ℂ))
42, 3ax-mp 5 . . . 4 − Fn (ℂ × ℂ)
5 nnsscn 11106 . . . . 5 ℕ ⊆ ℂ
6 xpss12 5201 . . . . 5 ((ℕ ⊆ ℂ ∧ ℕ ⊆ ℂ) → (ℕ × ℕ) ⊆ (ℂ × ℂ))
75, 5, 6mp2an 710 . . . 4 (ℕ × ℕ) ⊆ (ℂ × ℂ)
8 ovelimab 6897 . . . 4 (( − Fn (ℂ × ℂ) ∧ (ℕ × ℕ) ⊆ (ℂ × ℂ)) → (𝑥 ∈ ( − “ (ℕ × ℕ)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑥 = (𝑦𝑧)))
94, 7, 8mp2an 710 . . 3 (𝑥 ∈ ( − “ (ℕ × ℕ)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑥 = (𝑦𝑧))
101, 9bitr4i 267 . 2 (𝑥 ∈ ℤ ↔ 𝑥 ∈ ( − “ (ℕ × ℕ)))
1110eqriv 2689 1 ℤ = ( − “ (ℕ × ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196   = wceq 1564  wcel 2071  wrex 2983  wss 3648   × cxp 5184  cima 5189   Fn wfn 5964  wf 5965  (class class class)co 6733  cc 10015  cmin 10347  cn 11101  cz 11458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1818  ax-5 1920  ax-6 1986  ax-7 2022  ax-8 2073  ax-9 2080  ax-10 2100  ax-11 2115  ax-12 2128  ax-13 2323  ax-ext 2672  ax-sep 4857  ax-nul 4865  ax-pow 4916  ax-pr 4979  ax-un 7034  ax-resscn 10074  ax-1cn 10075  ax-icn 10076  ax-addcl 10077  ax-addrcl 10078  ax-mulcl 10079  ax-mulrcl 10080  ax-mulcom 10081  ax-addass 10082  ax-mulass 10083  ax-distr 10084  ax-i2m1 10085  ax-1ne0 10086  ax-1rid 10087  ax-rnegex 10088  ax-rrecex 10089  ax-cnre 10090  ax-pre-lttri 10091  ax-pre-lttrn 10092  ax-pre-ltadd 10093  ax-pre-mulgt0 10094
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1567  df-ex 1786  df-nf 1791  df-sb 1979  df-eu 2543  df-mo 2544  df-clab 2679  df-cleq 2685  df-clel 2688  df-nfc 2823  df-ne 2865  df-nel 2968  df-ral 2987  df-rex 2988  df-reu 2989  df-rab 2991  df-v 3274  df-sbc 3510  df-csb 3608  df-dif 3651  df-un 3653  df-in 3655  df-ss 3662  df-pss 3664  df-nul 3992  df-if 4163  df-pw 4236  df-sn 4254  df-pr 4256  df-tp 4258  df-op 4260  df-uni 4513  df-iun 4598  df-br 4729  df-opab 4789  df-mpt 4806  df-tr 4829  df-id 5096  df-eprel 5101  df-po 5107  df-so 5108  df-fr 5145  df-we 5147  df-xp 5192  df-rel 5193  df-cnv 5194  df-co 5195  df-dm 5196  df-rn 5197  df-res 5198  df-ima 5199  df-pred 5761  df-ord 5807  df-on 5808  df-lim 5809  df-suc 5810  df-iota 5932  df-fun 5971  df-fn 5972  df-f 5973  df-f1 5974  df-fo 5975  df-f1o 5976  df-fv 5977  df-riota 6694  df-ov 6736  df-oprab 6737  df-mpt2 6738  df-om 7151  df-1st 7253  df-2nd 7254  df-wrecs 7495  df-recs 7556  df-rdg 7594  df-er 7830  df-en 8041  df-dom 8042  df-sdom 8043  df-pnf 10157  df-mnf 10158  df-xr 10159  df-ltxr 10160  df-le 10161  df-sub 10349  df-neg 10350  df-nn 11102  df-n0 11374  df-z 11459
This theorem is referenced by:  zexALT  11477  znnen  15029
  Copyright terms: Public domain W3C validator