Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dgraa0p Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dgraa0p 37197
 Description: A rational polynomial of degree less than an algebraic number cannot be zero at that number unless it is the zero polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
dgraa0p ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) → ((𝑃𝐴) = 0 ↔ 𝑃 = 0𝑝))

Proof of Theorem dgraa0p
StepHypRef Expression
1 simpl3 1064 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → (deg‘𝑃) < (degAA𝐴))
2 simpl2 1063 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ))
3 dgrcl 23893 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ0)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ0)
54nn0red 11296 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → (deg‘𝑃) ∈ ℝ)
6 simpl1 1062 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → 𝐴 ∈ 𝔸)
7 dgraacl 37194 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝔸 → (degAA𝐴) ∈ ℕ)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → (degAA𝐴) ∈ ℕ)
98nnred 10979 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → (degAA𝐴) ∈ ℝ)
105, 9ltnled 10128 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → ((deg‘𝑃) < (degAA𝐴) ↔ ¬ (degAA𝐴) ≤ (deg‘𝑃)))
111, 10mpbid 222 . . . . 5 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → ¬ (degAA𝐴) ≤ (deg‘𝑃))
12 simpl2 1063 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ))
13 simprl 793 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → 𝑃 ≠ 0𝑝)
14 simpl1 1062 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → 𝐴 ∈ 𝔸)
15 aacn 23976 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝔸 → 𝐴 ∈ ℂ)
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
17 simprr 795 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → (𝑃𝐴) = 0)
18 dgraaub 37196 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → (degAA𝐴) ≤ (deg‘𝑃))
1912, 13, 16, 17, 18syl22anc 1324 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → (degAA𝐴) ≤ (deg‘𝑃))
2019expr 642 . . . . 5 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → ((𝑃𝐴) = 0 → (degAA𝐴) ≤ (deg‘𝑃)))
2111, 20mtod 189 . . . 4 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → ¬ (𝑃𝐴) = 0)
2221ex 450 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) → (𝑃 ≠ 0𝑝 → ¬ (𝑃𝐴) = 0))
2322necon4ad 2809 . 2 ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) → ((𝑃𝐴) = 0 → 𝑃 = 0𝑝))
24 0pval 23344 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (0𝑝𝐴) = 0)
2515, 24syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝔸 → (0𝑝𝐴) = 0)
26 fveq1 6147 . . . . 5 (𝑃 = 0𝑝 → (𝑃𝐴) = (0𝑝𝐴))
2726eqeq1d 2623 . . . 4 (𝑃 = 0𝑝 → ((𝑃𝐴) = 0 ↔ (0𝑝𝐴) = 0))
2825, 27syl5ibrcom 237 . . 3 (𝐴 ∈ 𝔸 → (𝑃 = 0𝑝 → (𝑃𝐴) = 0))
29283ad2ant1 1080 . 2 ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) → (𝑃 = 0𝑝 → (𝑃𝐴) = 0))
3023, 29impbid 202 1 ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) → ((𝑃𝐴) = 0 ↔ 𝑃 = 0𝑝))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  ℂcc 9878  0cc0 9880   < clt 10018   ≤ cle 10019  ℕcn 10964  ℕ0cn0 11236  ℚcq 11732  0𝑝c0p 23342  Polycply 23844  degcdgr 23847  𝔸caa 23973  degAAcdgraa 37188 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-0p 23343  df-ply 23848  df-coe 23850  df-dgr 23851  df-aa 23974  df-dgraa 37190 This theorem is referenced by:  mpaaeu  37198
 Copyright terms: Public domain W3C validator