Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dgraa0p Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dgraa0p 38219
Description: A rational polynomial of degree less than an algebraic number cannot be zero at that number unless it is the zero polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
dgraa0p ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) → ((𝑃𝐴) = 0 ↔ 𝑃 = 0𝑝))

Proof of Theorem dgraa0p
StepHypRef Expression
1 simpl3 1232 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → (deg‘𝑃) < (degAA𝐴))
2 simpl2 1230 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ))
3 dgrcl 24186 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ0)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ0)
54nn0red 11542 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → (deg‘𝑃) ∈ ℝ)
6 simpl1 1228 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → 𝐴 ∈ 𝔸)
7 dgraacl 38216 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝔸 → (degAA𝐴) ∈ ℕ)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → (degAA𝐴) ∈ ℕ)
98nnred 11225 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → (degAA𝐴) ∈ ℝ)
105, 9ltnled 10374 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → ((deg‘𝑃) < (degAA𝐴) ↔ ¬ (degAA𝐴) ≤ (deg‘𝑃)))
111, 10mpbid 222 . . . . 5 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → ¬ (degAA𝐴) ≤ (deg‘𝑃))
12 simpl2 1230 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ))
13 simprl 811 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → 𝑃 ≠ 0𝑝)
14 simpl1 1228 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → 𝐴 ∈ 𝔸)
15 aacn 24269 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝔸 → 𝐴 ∈ ℂ)
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
17 simprr 813 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → (𝑃𝐴) = 0)
18 dgraaub 38218 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → (degAA𝐴) ≤ (deg‘𝑃))
1912, 13, 16, 17, 18syl22anc 1478 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → (degAA𝐴) ≤ (deg‘𝑃))
2019expr 644 . . . . 5 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → ((𝑃𝐴) = 0 → (degAA𝐴) ≤ (deg‘𝑃)))
2111, 20mtod 189 . . . 4 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → ¬ (𝑃𝐴) = 0)
2221ex 449 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) → (𝑃 ≠ 0𝑝 → ¬ (𝑃𝐴) = 0))
2322necon4ad 2949 . 2 ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) → ((𝑃𝐴) = 0 → 𝑃 = 0𝑝))
24 0pval 23635 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (0𝑝𝐴) = 0)
2515, 24syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝔸 → (0𝑝𝐴) = 0)
26 fveq1 6349 . . . . 5 (𝑃 = 0𝑝 → (𝑃𝐴) = (0𝑝𝐴))
2726eqeq1d 2760 . . . 4 (𝑃 = 0𝑝 → ((𝑃𝐴) = 0 ↔ (0𝑝𝐴) = 0))
2825, 27syl5ibrcom 237 . . 3 (𝐴 ∈ 𝔸 → (𝑃 = 0𝑝 → (𝑃𝐴) = 0))
29283ad2ant1 1128 . 2 ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) → (𝑃 = 0𝑝 → (𝑃𝐴) = 0))
3023, 29impbid 202 1 ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) → ((𝑃𝐴) = 0 ↔ 𝑃 = 0𝑝))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1630  wcel 2137  wne 2930   class class class wbr 4802  cfv 6047  cc 10124  0cc0 10126   < clt 10264  cle 10265  cn 11210  0cn0 11482  cq 11979  0𝑝c0p 23633  Polycply 24137  degcdgr 24140  𝔸caa 24266  degAAcdgraa 38210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-inf2 8709  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-pre-sup 10204  ax-addf 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-se 5224  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-isom 6056  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-of 7060  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-oadd 7731  df-er 7909  df-map 8023  df-pm 8024  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-sup 8511  df-inf 8512  df-oi 8578  df-card 8953  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-div 10875  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-n0 11483  df-z 11568  df-uz 11878  df-q 11980  df-rp 12024  df-fz 12518  df-fzo 12658  df-fl 12785  df-mod 12861  df-seq 12994  df-exp 13053  df-hash 13310  df-cj 14036  df-re 14037  df-im 14038  df-sqrt 14172  df-abs 14173  df-clim 14416  df-rlim 14417  df-sum 14614  df-0p 23634  df-ply 24141  df-coe 24143  df-dgr 24144  df-aa 24267  df-dgraa 38212
This theorem is referenced by:  mpaaeu  38220
  Copyright terms: Public domain W3C validator