Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dgraalem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dgraalem 37217
 Description: Properties of the degree of an algebraic number. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Nov-2014.) (Proof shortened by AV, 29-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
dgraalem (𝐴 ∈ 𝔸 → ((degAA𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = (degAA𝐴) ∧ (𝑝𝐴) = 0)))
Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem dgraalem
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgraaval 37216 . . 3 (𝐴 ∈ 𝔸 → (degAA𝐴) = inf({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)}, ℝ, < ))
2 ssrab2 3668 . . . . 5 {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)} ⊆ ℕ
3 nnuz 11670 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
42, 3sseqtri 3618 . . . 4 {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)} ⊆ (ℤ‘1)
5 eldifsn 4289 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ↔ (𝑏 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑏 ≠ 0𝑝))
65biimpi 206 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) → (𝑏 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑏 ≠ 0𝑝))
76ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑏𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑏 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑏 ≠ 0𝑝))
8 simpr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑏𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
9 simplr 791 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑏𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑏𝐴) = 0)
10 dgrnznn 23914 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑏 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑏𝐴) = 0)) → (deg‘𝑏) ∈ ℕ)
117, 8, 9, 10syl12anc 1321 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑏𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (deg‘𝑏) ∈ ℕ)
12 simpll 789 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑏𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
13 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (deg‘𝑏) = (deg‘𝑏)
149, 13jctil 559 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑏𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((deg‘𝑏) = (deg‘𝑏) ∧ (𝑏𝐴) = 0))
15 eqeq2 2632 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (deg‘𝑏) → ((deg‘𝑝) = 𝑎 ↔ (deg‘𝑝) = (deg‘𝑏)))
1615anbi1d 740 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (deg‘𝑏) → (((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0) ↔ ((deg‘𝑝) = (deg‘𝑏) ∧ (𝑝𝐴) = 0)))
17 fveq2 6150 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑏 → (deg‘𝑝) = (deg‘𝑏))
1817eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑏 → ((deg‘𝑝) = (deg‘𝑏) ↔ (deg‘𝑏) = (deg‘𝑏)))
19 fveq1 6149 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑏 → (𝑝𝐴) = (𝑏𝐴))
2019eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑏 → ((𝑝𝐴) = 0 ↔ (𝑏𝐴) = 0))
2118, 20anbi12d 746 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑏 → (((deg‘𝑝) = (deg‘𝑏) ∧ (𝑝𝐴) = 0) ↔ ((deg‘𝑏) = (deg‘𝑏) ∧ (𝑏𝐴) = 0)))
2216, 21rspc2ev 3309 . . . . . . . . 9 (((deg‘𝑏) ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ ((deg‘𝑏) = (deg‘𝑏) ∧ (𝑏𝐴) = 0)) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0))
2311, 12, 14, 22syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (((𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑏𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0))
2423ex 450 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑏𝐴) = 0) → (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)))
2524rexlimiva 3021 . . . . . 6 (∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑏𝐴) = 0 → (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)))
2625impcom 446 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑏𝐴) = 0) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0))
27 elqaa 23988 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑏𝐴) = 0))
28 rabn0 3934 . . . . 5 ({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0))
2926, 27, 283imtr4i 281 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝔸 → {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)} ≠ ∅)
30 infssuzcl 11719 . . . 4 (({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)} ⊆ (ℤ‘1) ∧ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)} ≠ ∅) → inf({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)}, ℝ, < ) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)})
314, 29, 30sylancr 694 . . 3 (𝐴 ∈ 𝔸 → inf({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)}, ℝ, < ) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)})
321, 31eqeltrd 2698 . 2 (𝐴 ∈ 𝔸 → (degAA𝐴) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)})
33 eqeq2 2632 . . . . 5 (𝑎 = (degAA𝐴) → ((deg‘𝑝) = 𝑎 ↔ (deg‘𝑝) = (degAA𝐴)))
3433anbi1d 740 . . . 4 (𝑎 = (degAA𝐴) → (((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0) ↔ ((deg‘𝑝) = (degAA𝐴) ∧ (𝑝𝐴) = 0)))
3534rexbidv 3045 . . 3 (𝑎 = (degAA𝐴) → (∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0) ↔ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = (degAA𝐴) ∧ (𝑝𝐴) = 0)))
3635elrab 3347 . 2 ((degAA𝐴) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)} ↔ ((degAA𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = (degAA𝐴) ∧ (𝑝𝐴) = 0)))
3732, 36sylib 208 1 (𝐴 ∈ 𝔸 → ((degAA𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = (degAA𝐴) ∧ (𝑝𝐴) = 0)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∃wrex 2908  {crab 2911   ∖ cdif 3553   ⊆ wss 3556  ∅c0 3893  {csn 4150  ‘cfv 5849  infcinf 8294  ℂcc 9881  ℝcr 9882  0cc0 9883  1c1 9884   < clt 10021  ℕcn 10967  ℤ≥cuz 11634  ℚcq 11735  0𝑝c0p 23349  Polycply 23851  degcdgr 23854  𝔸caa 23980  degAAcdgraa 37212 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-inf2 8485  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961  ax-addf 9962 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-se 5036  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-isom 5858  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-of 6853  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-oadd 7512  df-er 7690  df-map 7807  df-pm 7808  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-sup 8295  df-inf 8296  df-oi 8362  df-card 8712  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-q 11736  df-rp 11780  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-fl 12536  df-mod 12612  df-seq 12745  df-exp 12804  df-hash 13061  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-clim 14156  df-rlim 14157  df-sum 14354  df-0p 23350  df-ply 23855  df-coe 23857  df-dgr 23858  df-aa 23981  df-dgraa 37214 This theorem is referenced by:  dgraacl  37218  mpaaeu  37222
 Copyright terms: Public domain W3C validator