MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrcolem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dgrcolem1 24248
Description: The degree of a composition of a monomial with a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrcolem1.1 𝑁 = (deg‘𝐺)
dgrcolem1.2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
dgrcolem1.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dgrcolem1.4 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
Assertion
Ref Expression
dgrcolem1 (𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀))) = (𝑀 · 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem dgrcolem1
Dummy variables 𝑤 𝑑 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrcolem1.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2 oveq2 6822 . . . . . . 7 (𝑦 = 1 → ((𝐺𝑥)↑𝑦) = ((𝐺𝑥)↑1))
32mpteq2dv 4897 . . . . . 6 (𝑦 = 1 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑1)))
43fveq2d 6357 . . . . 5 (𝑦 = 1 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦))) = (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑1))))
5 oveq1 6821 . . . . 5 (𝑦 = 1 → (𝑦 · 𝑁) = (1 · 𝑁))
64, 5eqeq12d 2775 . . . 4 (𝑦 = 1 → ((deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦))) = (𝑦 · 𝑁) ↔ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑1))) = (1 · 𝑁)))
76imbi2d 329 . . 3 (𝑦 = 1 → ((𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦))) = (𝑦 · 𝑁)) ↔ (𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑1))) = (1 · 𝑁))))
8 oveq2 6822 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑑 → ((𝐺𝑥)↑𝑦) = ((𝐺𝑥)↑𝑑))
98mpteq2dv 4897 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)))
109fveq2d 6357 . . . . 5 (𝑦 = 𝑑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦))) = (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))))
11 oveq1 6821 . . . . 5 (𝑦 = 𝑑 → (𝑦 · 𝑁) = (𝑑 · 𝑁))
1210, 11eqeq12d 2775 . . . 4 (𝑦 = 𝑑 → ((deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦))) = (𝑦 · 𝑁) ↔ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)))
1312imbi2d 329 . . 3 (𝑦 = 𝑑 → ((𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦))) = (𝑦 · 𝑁)) ↔ (𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁))))
14 oveq2 6822 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑑 + 1) → ((𝐺𝑥)↑𝑦) = ((𝐺𝑥)↑(𝑑 + 1)))
1514mpteq2dv 4897 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑑 + 1) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑(𝑑 + 1))))
1615fveq2d 6357 . . . . 5 (𝑦 = (𝑑 + 1) → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦))) = (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑(𝑑 + 1)))))
17 oveq1 6821 . . . . 5 (𝑦 = (𝑑 + 1) → (𝑦 · 𝑁) = ((𝑑 + 1) · 𝑁))
1816, 17eqeq12d 2775 . . . 4 (𝑦 = (𝑑 + 1) → ((deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦))) = (𝑦 · 𝑁) ↔ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑(𝑑 + 1)))) = ((𝑑 + 1) · 𝑁)))
1918imbi2d 329 . . 3 (𝑦 = (𝑑 + 1) → ((𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦))) = (𝑦 · 𝑁)) ↔ (𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑(𝑑 + 1)))) = ((𝑑 + 1) · 𝑁))))
20 oveq2 6822 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑀 → ((𝐺𝑥)↑𝑦) = ((𝐺𝑥)↑𝑀))
2120mpteq2dv 4897 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑀 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀)))
2221fveq2d 6357 . . . . 5 (𝑦 = 𝑀 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦))) = (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀))))
23 oveq1 6821 . . . . 5 (𝑦 = 𝑀 → (𝑦 · 𝑁) = (𝑀 · 𝑁))
2422, 23eqeq12d 2775 . . . 4 (𝑦 = 𝑀 → ((deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦))) = (𝑦 · 𝑁) ↔ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀))) = (𝑀 · 𝑁)))
2524imbi2d 329 . . 3 (𝑦 = 𝑀 → ((𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦))) = (𝑦 · 𝑁)) ↔ (𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀))) = (𝑀 · 𝑁))))
26 dgrcolem1.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
27 plyf 24173 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:ℂ⟶ℂ)
2928ffvelrnda 6523 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
3029exp1d 13217 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐺𝑥)↑1) = (𝐺𝑥))
3130mpteq2dva 4896 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐺𝑥)))
3228feqmptd 6412 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐺𝑥)))
3331, 32eqtr4d 2797 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑1)) = 𝐺)
3433fveq2d 6357 . . . . 5 (𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑1))) = (deg‘𝐺))
35 dgrcolem1.1 . . . . 5 𝑁 = (deg‘𝐺)
3634, 35syl6eqr 2812 . . . 4 (𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑1))) = 𝑁)
37 dgrcolem1.3 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3837nncnd 11248 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
3938mulid2d 10270 . . . 4 (𝜑 → (1 · 𝑁) = 𝑁)
4036, 39eqtr4d 2797 . . 3 (𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑1))) = (1 · 𝑁))
4129adantlr 753 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
42 nnnn0 11511 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ ℕ → 𝑑 ∈ ℕ0)
4342adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → 𝑑 ∈ ℕ0)
4443adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑑 ∈ ℕ0)
4541, 44expp1d 13223 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐺𝑥)↑(𝑑 + 1)) = (((𝐺𝑥)↑𝑑) · (𝐺𝑥)))
4645mpteq2dva 4896 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑(𝑑 + 1))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((𝐺𝑥)↑𝑑) · (𝐺𝑥))))
47 cnex 10229 . . . . . . . . . . . 12 ℂ ∈ V
4847a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → ℂ ∈ V)
49 ovexd 6844 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐺𝑥)↑𝑑) ∈ V)
50 eqidd 2761 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)))
5132adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐺𝑥)))
5248, 49, 41, 50, 51offval2 7080 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) ∘𝑓 · 𝐺) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((𝐺𝑥)↑𝑑) · (𝐺𝑥))))
5346, 52eqtr4d 2797 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑(𝑑 + 1))) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) ∘𝑓 · 𝐺))
5453fveq2d 6357 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑(𝑑 + 1)))) = (deg‘((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) ∘𝑓 · 𝐺)))
5554adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑(𝑑 + 1)))) = (deg‘((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) ∘𝑓 · 𝐺)))
56 nncn 11240 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ ℕ → 𝑑 ∈ ℂ)
5756adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → 𝑑 ∈ ℂ)
58 1cnd 10268 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
5938adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
6057, 58, 59adddird 10277 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → ((𝑑 + 1) · 𝑁) = ((𝑑 · 𝑁) + (1 · 𝑁)))
6159mulid2d 10270 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → (1 · 𝑁) = 𝑁)
6261oveq2d 6830 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → ((𝑑 · 𝑁) + (1 · 𝑁)) = ((𝑑 · 𝑁) + 𝑁))
6360, 62eqtrd 2794 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → ((𝑑 + 1) · 𝑁) = ((𝑑 · 𝑁) + 𝑁))
6463adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → ((𝑑 + 1) · 𝑁) = ((𝑑 · 𝑁) + 𝑁))
65 eqidd 2761 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑑)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑑)))
66 oveq1 6821 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝐺𝑥) → (𝑦𝑑) = ((𝐺𝑥)↑𝑑))
6741, 51, 65, 66fmptco 6560 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑑)) ∘ 𝐺) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)))
68 ssid 3765 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℂ ⊆ ℂ
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → ℂ ⊆ ℂ)
70 plypow 24180 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑑)) ∈ (Poly‘ℂ))
7169, 58, 43, 70syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑑)) ∈ (Poly‘ℂ))
72 plyssc 24175 . . . . . . . . . . . . . 14 (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
7326adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
7472, 73sseldi 3742 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
75 addcl 10230 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑧 + 𝑤) ∈ ℂ)
7675adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (𝑧 + 𝑤) ∈ ℂ)
77 mulcl 10232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑧 · 𝑤) ∈ ℂ)
7877adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (𝑧 · 𝑤) ∈ ℂ)
7971, 74, 76, 78plyco 24216 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑑)) ∘ 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
8067, 79eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) ∈ (Poly‘ℂ))
8180adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) ∈ (Poly‘ℂ))
82 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁))
83 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → 𝑑 ∈ ℕ)
8437adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
8583, 84nnmulcld 11280 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → (𝑑 · 𝑁) ∈ ℕ)
8685nnne0d 11277 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → (𝑑 · 𝑁) ≠ 0)
8786adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → (𝑑 · 𝑁) ≠ 0)
8882, 87eqnetrd 2999 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) ≠ 0)
89 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) = 0𝑝 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (deg‘0𝑝))
90 dgr0 24237 . . . . . . . . . . . . 13 (deg‘0𝑝) = 0
9189, 90syl6eq 2810 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) = 0𝑝 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = 0)
9291necon3i 2964 . . . . . . . . . . 11 ((deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) ≠ 0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) ≠ 0𝑝)
9388, 92syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) ≠ 0𝑝)
9474adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
9537nnne0d 11277 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ≠ 0)
96 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 = 0𝑝 → (deg‘𝐺) = (deg‘0𝑝))
9796, 90syl6eq 2810 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 = 0𝑝 → (deg‘𝐺) = 0)
9835, 97syl5eq 2806 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 = 0𝑝𝑁 = 0)
9998necon3i 2964 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ≠ 0 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
10095, 99syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ≠ 0𝑝)
101100adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → 𝐺 ≠ 0𝑝)
102101adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → 𝐺 ≠ 0𝑝)
103 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)))
104103, 35dgrmul 24245 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (deg‘((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) ∘𝑓 · 𝐺)) = ((deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) + 𝑁))
10581, 93, 94, 102, 104syl22anc 1478 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → (deg‘((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) ∘𝑓 · 𝐺)) = ((deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) + 𝑁))
106 oveq1 6821 . . . . . . . . . 10 ((deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁) → ((deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) + 𝑁) = ((𝑑 · 𝑁) + 𝑁))
107106adantl 473 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → ((deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) + 𝑁) = ((𝑑 · 𝑁) + 𝑁))
108105, 107eqtrd 2794 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → (deg‘((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) ∘𝑓 · 𝐺)) = ((𝑑 · 𝑁) + 𝑁))
10964, 108eqtr4d 2797 . . . . . . 7 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → ((𝑑 + 1) · 𝑁) = (deg‘((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) ∘𝑓 · 𝐺)))
11055, 109eqtr4d 2797 . . . . . 6 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑(𝑑 + 1)))) = ((𝑑 + 1) · 𝑁))
111110ex 449 . . . . 5 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → ((deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁) → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑(𝑑 + 1)))) = ((𝑑 + 1) · 𝑁)))
112111expcom 450 . . . 4 (𝑑 ∈ ℕ → (𝜑 → ((deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁) → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑(𝑑 + 1)))) = ((𝑑 + 1) · 𝑁))))
113112a2d 29 . . 3 (𝑑 ∈ ℕ → ((𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → (𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑(𝑑 + 1)))) = ((𝑑 + 1) · 𝑁))))
1147, 13, 19, 25, 40, 113nnind 11250 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → (𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀))) = (𝑀 · 𝑁)))
1151, 114mpcom 38 1 (𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀))) = (𝑀 · 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  Vcvv 3340  wss 3715  cmpt 4881  ccom 5270  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  𝑓 cof 7061  cc 10146  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153  cn 11232  0cn0 11504  cexp 13074  0𝑝c0p 23655  Polycply 24159  degcdgr 24162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-0p 23656  df-ply 24163  df-coe 24165  df-dgr 24166
This theorem is referenced by:  dgrcolem2  24249
  Copyright terms: Public domain W3C validator