MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dgrle 24194
Description: Given an explicit expression for a polynomial, the degree is at most the highest term in the sum. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrle.1 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
dgrle.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
dgrle.3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
dgrle.4 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘))))
Assertion
Ref Expression
dgrle (𝜑 → (deg‘𝐹) ≤ 𝑁)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑘,𝑁   𝜑,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑆(𝑧,𝑘)   𝐹(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem dgrle
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrle.1 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 dgrle.2 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
3 dgrle.3 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
4 dgrle.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘))))
51, 2, 3, 4coeeq2 24193 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (coeff‘𝐹) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)))
65ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑚𝑁) → (coeff‘𝐹) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)))
76fveq1d 6350 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑚𝑁) → ((coeff‘𝐹)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚))
8 nfcv 2898 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑚
9 nfv 1988 . . . . . . . . . . 11 𝑘 ¬ 𝑚𝑁
10 nffvmpt1 6356 . . . . . . . . . . . 12 𝑘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚)
1110nfeq1 2912 . . . . . . . . . . 11 𝑘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) = 0
129, 11nfim 1970 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑚𝑁 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) = 0)
13 breq1 4803 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝑁𝑚𝑁))
1413notbid 307 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → (¬ 𝑘𝑁 ↔ ¬ 𝑚𝑁))
15 fveq2 6348 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚))
1615eqeq1d 2758 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = 0 ↔ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) = 0))
1714, 16imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → ((¬ 𝑘𝑁 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = 0) ↔ (¬ 𝑚𝑁 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) = 0)))
18 iffalse 4235 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑁 → if(𝑘𝑁, 𝐴, 0) = 0)
1918fveq2d 6352 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑁 → ( I ‘if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)) = ( I ‘0))
20 0cn 10220 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℂ
21 fvi 6413 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℂ → ( I ‘0) = 0)
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ( I ‘0) = 0
2319, 22syl6eq 2806 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑁 → ( I ‘if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)) = 0)
24 eqid 2756 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))
2524fvmpt2i 6448 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = ( I ‘if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)))
2625eqeq1d 2758 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = 0 ↔ ( I ‘if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)) = 0))
2723, 26syl5ibr 236 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑘𝑁 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = 0))
288, 12, 17, 27vtoclgaf 3407 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑚𝑁 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) = 0))
2928imp 444 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑚𝑁) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) = 0)
3029adantll 752 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑚𝑁) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) = 0)
317, 30eqtrd 2790 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑚𝑁) → ((coeff‘𝐹)‘𝑚) = 0)
3231ex 449 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑚𝑁 → ((coeff‘𝐹)‘𝑚) = 0))
3332necon1ad 2945 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (((coeff‘𝐹)‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚𝑁))
3433ralrimiva 3100 . . 3 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((coeff‘𝐹)‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚𝑁))
35 eqid 2756 . . . . . 6 (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
3635coef3 24183 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ)
371, 36syl 17 . . . 4 (𝜑 → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ)
38 plyco0 24143 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ) → (((coeff‘𝐹) “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((coeff‘𝐹)‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚𝑁)))
392, 37, 38syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (((coeff‘𝐹) “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((coeff‘𝐹)‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚𝑁)))
4034, 39mpbird 247 . 2 (𝜑 → ((coeff‘𝐹) “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
41 eqid 2756 . . 3 (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
4235, 41dgrlb 24187 . 2 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((coeff‘𝐹) “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0}) → (deg‘𝐹) ≤ 𝑁)
431, 2, 40, 42syl3anc 1477 1 (𝜑 → (deg‘𝐹) ≤ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1628  wcel 2135  wne 2928  wral 3046  ifcif 4226  {csn 4317   class class class wbr 4800  cmpt 4877   I cid 5169  cima 5265  wf 6041  cfv 6045  (class class class)co 6809  cc 10122  0cc0 10124  1c1 10125   + caddc 10127   · cmul 10129  cle 10263  0cn0 11480  cuz 11875  ...cfz 12515  cexp 13050  Σcsu 14611  Polycply 24135  coeffccoe 24137  degcdgr 24138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-inf2 8707  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201  ax-pre-sup 10202  ax-addf 10203
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-fal 1634  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-se 5222  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-isom 6054  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-of 7058  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-oadd 7729  df-er 7907  df-map 8021  df-pm 8022  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-sup 8509  df-inf 8510  df-oi 8576  df-card 8951  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-div 10873  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-n0 11481  df-z 11566  df-uz 11876  df-rp 12022  df-fz 12516  df-fzo 12656  df-fl 12783  df-seq 12992  df-exp 13051  df-hash 13308  df-cj 14034  df-re 14035  df-im 14036  df-sqrt 14170  df-abs 14171  df-clim 14414  df-rlim 14415  df-sum 14612  df-0p 23632  df-ply 24139  df-coe 24141  df-dgr 24142
This theorem is referenced by:  dgreq  24195  0dgr  24196  coeaddlem  24200  coemullem  24201  taylply2  24317
  Copyright terms: Public domain W3C validator