MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dgrlt 23960
Description: Two ways to say that the degree of 𝐹 is strictly less than 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgreq0.1 𝑁 = (deg‘𝐹)
dgreq0.2 𝐴 = (coeff‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
dgrlt ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐹 = 0𝑝𝑁 < 𝑀) ↔ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)))

Proof of Theorem dgrlt
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → 𝐹 = 0𝑝)
21fveq2d 6162 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
3 dgreq0.1 . . . . . 6 𝑁 = (deg‘𝐹)
4 dgr0 23956 . . . . . . 7 (deg‘0𝑝) = 0
54eqcomi 2630 . . . . . 6 0 = (deg‘0𝑝)
62, 3, 53eqtr4g 2680 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → 𝑁 = 0)
7 nn0ge0 11278 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑀)
87ad2antlr 762 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → 0 ≤ 𝑀)
96, 8eqbrtrd 4645 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → 𝑁𝑀)
101fveq2d 6162 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → (coeff‘𝐹) = (coeff‘0𝑝))
11 dgreq0.2 . . . . . . 7 𝐴 = (coeff‘𝐹)
12 coe0 23950 . . . . . . . 8 (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})
1312eqcomi 2630 . . . . . . 7 (ℕ0 × {0}) = (coeff‘0𝑝)
1410, 11, 133eqtr4g 2680 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → 𝐴 = (ℕ0 × {0}))
1514fveq1d 6160 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → (𝐴𝑀) = ((ℕ0 × {0})‘𝑀))
16 c0ex 9994 . . . . . . 7 0 ∈ V
1716fvconst2 6434 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {0})‘𝑀) = 0)
1817ad2antlr 762 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → ((ℕ0 × {0})‘𝑀) = 0)
1915, 18eqtrd 2655 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → (𝐴𝑀) = 0)
209, 19jca 554 . . 3 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0))
21 dgrcl 23927 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
223, 21syl5eqel 2702 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2322nn0red 11312 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
24 nn0re 11261 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
25 ltle 10086 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑁 < 𝑀𝑁𝑀))
2623, 24, 25syl2an 494 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑀𝑁𝑀))
2726imp 445 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁𝑀)
2811, 3dgrub 23928 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0) → 𝑀𝑁)
29283expia 1264 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑀) ≠ 0 → 𝑀𝑁))
30 lenlt 10076 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
3124, 23, 30syl2anr 495 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
3229, 31sylibd 229 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑀) ≠ 0 → ¬ 𝑁 < 𝑀))
3332necon4ad 2809 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑀 → (𝐴𝑀) = 0))
3433imp 445 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐴𝑀) = 0)
3527, 34jca 554 . . 3 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0))
3620, 35jaodan 825 . 2 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹 = 0𝑝𝑁 < 𝑀)) → (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0))
37 leloe 10084 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑁𝑀 ↔ (𝑁 < 𝑀𝑁 = 𝑀)))
3823, 24, 37syl2an 494 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑀 ↔ (𝑁 < 𝑀𝑁 = 𝑀)))
3938biimpa 501 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝑀) → (𝑁 < 𝑀𝑁 = 𝑀))
4039adantrr 752 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)) → (𝑁 < 𝑀𝑁 = 𝑀))
41 fveq2 6158 . . . . . 6 (𝑁 = 𝑀 → (𝐴𝑁) = (𝐴𝑀))
423, 11dgreq0 23959 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑁) = 0))
4342ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑁) = 0))
44 simprr 795 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)) → (𝐴𝑀) = 0)
4544eqeq2d 2631 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)) → ((𝐴𝑁) = (𝐴𝑀) ↔ (𝐴𝑁) = 0))
4643, 45bitr4d 271 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑁) = (𝐴𝑀)))
4741, 46syl5ibr 236 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)) → (𝑁 = 𝑀𝐹 = 0𝑝))
4847orim2d 884 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)) → ((𝑁 < 𝑀𝑁 = 𝑀) → (𝑁 < 𝑀𝐹 = 0𝑝)))
4940, 48mpd 15 . . 3 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)) → (𝑁 < 𝑀𝐹 = 0𝑝))
5049orcomd 403 . 2 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)) → (𝐹 = 0𝑝𝑁 < 𝑀))
5136, 50impbida 876 1 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐹 = 0𝑝𝑁 < 𝑀) ↔ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  {csn 4155   class class class wbr 4623   × cxp 5082  cfv 5857  cr 9895  0cc0 9896   < clt 10034  cle 10035  0cn0 11252  0𝑝c0p 23376  Polycply 23878  coeffccoe 23880  degcdgr 23881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-clim 14169  df-rlim 14170  df-sum 14367  df-0p 23377  df-ply 23882  df-coe 23884  df-dgr 23885
This theorem is referenced by:  dgrcolem2  23968  plydivlem4  23989  plydiveu  23991  dgrsub2  37225  elaa2lem  39787
  Copyright terms: Public domain W3C validator