MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dgrlt 24783
Description: Two ways to say that the degree of 𝐹 is strictly less than 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgreq0.1 𝑁 = (deg‘𝐹)
dgreq0.2 𝐴 = (coeff‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
dgrlt ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐹 = 0𝑝𝑁 < 𝑀) ↔ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)))

Proof of Theorem dgrlt
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → 𝐹 = 0𝑝)
21fveq2d 6667 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
3 dgreq0.1 . . . . . 6 𝑁 = (deg‘𝐹)
4 dgr0 24779 . . . . . . 7 (deg‘0𝑝) = 0
54eqcomi 2827 . . . . . 6 0 = (deg‘0𝑝)
62, 3, 53eqtr4g 2878 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → 𝑁 = 0)
7 nn0ge0 11910 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑀)
87ad2antlr 723 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → 0 ≤ 𝑀)
96, 8eqbrtrd 5079 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → 𝑁𝑀)
101fveq2d 6667 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → (coeff‘𝐹) = (coeff‘0𝑝))
11 dgreq0.2 . . . . . . 7 𝐴 = (coeff‘𝐹)
12 coe0 24773 . . . . . . . 8 (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})
1312eqcomi 2827 . . . . . . 7 (ℕ0 × {0}) = (coeff‘0𝑝)
1410, 11, 133eqtr4g 2878 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → 𝐴 = (ℕ0 × {0}))
1514fveq1d 6665 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → (𝐴𝑀) = ((ℕ0 × {0})‘𝑀))
16 c0ex 10623 . . . . . . 7 0 ∈ V
1716fvconst2 6958 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {0})‘𝑀) = 0)
1817ad2antlr 723 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → ((ℕ0 × {0})‘𝑀) = 0)
1915, 18eqtrd 2853 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → (𝐴𝑀) = 0)
209, 19jca 512 . . 3 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐹 = 0𝑝) → (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0))
21 dgrcl 24750 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
223, 21eqeltrid 2914 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2322nn0red 11944 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
24 nn0re 11894 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
25 ltle 10717 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑁 < 𝑀𝑁𝑀))
2623, 24, 25syl2an 595 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑀𝑁𝑀))
2726imp 407 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁𝑀)
2811, 3dgrub 24751 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0) → 𝑀𝑁)
29283expia 1113 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑀) ≠ 0 → 𝑀𝑁))
30 lenlt 10707 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
3124, 23, 30syl2anr 596 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
3229, 31sylibd 240 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑀) ≠ 0 → ¬ 𝑁 < 𝑀))
3332necon4ad 3032 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑀 → (𝐴𝑀) = 0))
3433imp 407 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐴𝑀) = 0)
3527, 34jca 512 . . 3 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0))
3620, 35jaodan 951 . 2 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹 = 0𝑝𝑁 < 𝑀)) → (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0))
37 leloe 10715 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑁𝑀 ↔ (𝑁 < 𝑀𝑁 = 𝑀)))
3823, 24, 37syl2an 595 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑀 ↔ (𝑁 < 𝑀𝑁 = 𝑀)))
3938biimpa 477 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝑀) → (𝑁 < 𝑀𝑁 = 𝑀))
4039adantrr 713 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)) → (𝑁 < 𝑀𝑁 = 𝑀))
41 fveq2 6663 . . . . . 6 (𝑁 = 𝑀 → (𝐴𝑁) = (𝐴𝑀))
423, 11dgreq0 24782 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑁) = 0))
4342ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑁) = 0))
44 simprr 769 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)) → (𝐴𝑀) = 0)
4544eqeq2d 2829 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)) → ((𝐴𝑁) = (𝐴𝑀) ↔ (𝐴𝑁) = 0))
4643, 45bitr4d 283 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑁) = (𝐴𝑀)))
4741, 46syl5ibr 247 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)) → (𝑁 = 𝑀𝐹 = 0𝑝))
4847orim2d 960 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)) → ((𝑁 < 𝑀𝑁 = 𝑀) → (𝑁 < 𝑀𝐹 = 0𝑝)))
4940, 48mpd 15 . . 3 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)) → (𝑁 < 𝑀𝐹 = 0𝑝))
5049orcomd 865 . 2 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)) → (𝐹 = 0𝑝𝑁 < 𝑀))
5136, 50impbida 797 1 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐹 = 0𝑝𝑁 < 𝑀) ↔ (𝑁𝑀 ∧ (𝐴𝑀) = 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  {csn 4557   class class class wbr 5057   × cxp 5546  cfv 6348  cr 10524  0cc0 10525   < clt 10663  cle 10664  0cn0 11885  0𝑝c0p 24197  Polycply 24701  coeffccoe 24703  degcdgr 24704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-0p 24198  df-ply 24705  df-coe 24707  df-dgr 24708
This theorem is referenced by:  dgrcolem2  24791  plydivlem4  24812  plydiveu  24814  dgrsub2  39613  elaa2lem  42395
  Copyright terms: Public domain W3C validator