Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrmulc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dgrmulc 24246
 Description: Scalar multiplication by a nonzero constant does not change the degree of a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
dgrmulc ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) = (deg‘𝐹))

Proof of Theorem dgrmulc
StepHypRef Expression
1 oveq2 6822 . . . 4 (𝐹 = 0𝑝 → ((ℂ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) = ((ℂ × {𝐴}) ∘𝑓 · 0𝑝))
21fveq2d 6357 . . 3 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) = (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘𝑓 · 0𝑝)))
3 fveq2 6353 . . . 4 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
4 dgr0 24237 . . . 4 (deg‘0𝑝) = 0
53, 4syl6eq 2810 . . 3 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = 0)
62, 5eqeq12d 2775 . 2 (𝐹 = 0𝑝 → ((deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) = (deg‘𝐹) ↔ (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘𝑓 · 0𝑝)) = 0))
7 ssid 3765 . . . . 5 ℂ ⊆ ℂ
8 simpl1 1228 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → 𝐴 ∈ ℂ)
9 plyconst 24181 . . . . 5 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
107, 8, 9sylancr 698 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
11 0cn 10244 . . . . 5 0 ∈ ℂ
12 fvconst2g 6632 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘0) = 𝐴)
138, 11, 12sylancl 697 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → ((ℂ × {𝐴})‘0) = 𝐴)
14 simpl2 1230 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → 𝐴 ≠ 0)
1513, 14eqnetrd 2999 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → ((ℂ × {𝐴})‘0) ≠ 0)
16 ne0p 24182 . . . . 5 ((0 ∈ ℂ ∧ ((ℂ × {𝐴})‘0) ≠ 0) → (ℂ × {𝐴}) ≠ 0𝑝)
1711, 15, 16sylancr 698 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → (ℂ × {𝐴}) ≠ 0𝑝)
18 plyssc 24175 . . . . 5 (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
19 simpl3 1232 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2018, 19sseldi 3742 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
21 simpr 479 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → 𝐹 ≠ 0𝑝)
22 eqid 2760 . . . . 5 (deg‘(ℂ × {𝐴})) = (deg‘(ℂ × {𝐴}))
23 eqid 2760 . . . . 5 (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
2422, 23dgrmul 24245 . . . 4 ((((ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (ℂ × {𝐴}) ≠ 0𝑝) ∧ (𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝)) → (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) = ((deg‘(ℂ × {𝐴})) + (deg‘𝐹)))
2510, 17, 20, 21, 24syl22anc 1478 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) = ((deg‘(ℂ × {𝐴})) + (deg‘𝐹)))
26 0dgr 24220 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {𝐴})) = 0)
278, 26syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → (deg‘(ℂ × {𝐴})) = 0)
2827oveq1d 6829 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → ((deg‘(ℂ × {𝐴})) + (deg‘𝐹)) = (0 + (deg‘𝐹)))
29 dgrcl 24208 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
3019, 29syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
3130nn0cnd 11565 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → (deg‘𝐹) ∈ ℂ)
3231addid2d 10449 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → (0 + (deg‘𝐹)) = (deg‘𝐹))
3325, 28, 323eqtrd 2798 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) = (deg‘𝐹))
34 cnex 10229 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
3534a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → ℂ ∈ V)
36 simp1 1131 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3711a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → 0 ∈ ℂ)
3835, 36, 37ofc12 7088 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((ℂ × {𝐴}) ∘𝑓 · (ℂ × {0})) = (ℂ × {(𝐴 · 0)}))
3936mul01d 10447 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐴 · 0) = 0)
4039sneqd 4333 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → {(𝐴 · 0)} = {0})
4140xpeq2d 5296 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (ℂ × {(𝐴 · 0)}) = (ℂ × {0}))
4238, 41eqtrd 2794 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((ℂ × {𝐴}) ∘𝑓 · (ℂ × {0})) = (ℂ × {0}))
43 df-0p 23656 . . . . . 6 0𝑝 = (ℂ × {0})
4443oveq2i 6825 . . . . 5 ((ℂ × {𝐴}) ∘𝑓 · 0𝑝) = ((ℂ × {𝐴}) ∘𝑓 · (ℂ × {0}))
4542, 44, 433eqtr4g 2819 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((ℂ × {𝐴}) ∘𝑓 · 0𝑝) = 0𝑝)
4645fveq2d 6357 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘𝑓 · 0𝑝)) = (deg‘0𝑝))
4746, 4syl6eq 2810 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘𝑓 · 0𝑝)) = 0)
486, 33, 47pm2.61ne 3017 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) = (deg‘𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  Vcvv 3340   ⊆ wss 3715  {csn 4321   × cxp 5264  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814   ∘𝑓 cof 7061  ℂcc 10146  0cc0 10148   + caddc 10151   · cmul 10153  ℕ0cn0 11504  0𝑝c0p 23655  Polycply 24159  degcdgr 24162 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-0p 23656  df-ply 24163  df-coe 24165  df-dgr 24166 This theorem is referenced by:  dgrsub  24247  dgrcolem2  24249  mpaaeu  38240
 Copyright terms: Public domain W3C validator