MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dgrub 23894
Description: If the 𝑀-th coefficient of 𝐹 is nonzero, then the degree of 𝐹 is at least 𝑀. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrub.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
dgrub.2 𝑁 = (deg‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
dgrub ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0) → 𝑀𝑁)

Proof of Theorem dgrub
Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1059 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 simp2 1060 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
3 dgrub.1 . . . . . . . . 9 𝐴 = (coeff‘𝐹)
43coef3 23892 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
51, 4syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
65, 2ffvelrnd 6316 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0) → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
7 simp3 1061 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0) → (𝐴𝑀) ≠ 0)
8 eldifsn 4287 . . . . . 6 ((𝐴𝑀) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝐴𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0))
96, 7, 8sylanbrc 697 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0) → (𝐴𝑀) ∈ (ℂ ∖ {0}))
103coef 23890 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
11 ffn 6002 . . . . . 6 (𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) → 𝐴 Fn ℕ0)
12 elpreima 6293 . . . . . 6 (𝐴 Fn ℕ0 → (𝑀 ∈ (𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ∈ (ℂ ∖ {0}))))
131, 10, 11, 124syl 19 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0) → (𝑀 ∈ (𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ∈ (ℂ ∖ {0}))))
142, 9, 13mpbir2and 956 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0) → 𝑀 ∈ (𝐴 “ (ℂ ∖ {0})))
15 nn0ssre 11240 . . . . . . 7 0 ⊆ ℝ
16 ltso 10062 . . . . . . 7 < Or ℝ
17 soss 5013 . . . . . . 7 (ℕ0 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℕ0))
1815, 16, 17mp2 9 . . . . . 6 < Or ℕ0
1918a1i 11 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → < Or ℕ0)
20 0zd 11333 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 0 ∈ ℤ)
21 cnvimass 5444 . . . . . . 7 (𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ dom 𝐴
22 fdm 6008 . . . . . . . 8 (𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) → dom 𝐴 = ℕ0)
2310, 22syl 17 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → dom 𝐴 = ℕ0)
2421, 23syl5sseq 3632 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ ℕ0)
253dgrlem 23889 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ (𝐴 “ (ℂ ∖ {0}))𝑥𝑛))
2625simprd 479 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ (𝐴 “ (ℂ ∖ {0}))𝑥𝑛)
27 nn0uz 11666 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
2827uzsupss 11724 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ ℕ0 ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ (𝐴 “ (ℂ ∖ {0}))𝑥𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (∀𝑥 ∈ (𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) ¬ 𝑛 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑥 < 𝑛 → ∃𝑦 ∈ (𝐴 “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 < 𝑦)))
2920, 24, 26, 28syl3anc 1323 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (∀𝑥 ∈ (𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) ¬ 𝑛 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑥 < 𝑛 → ∃𝑦 ∈ (𝐴 “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 < 𝑦)))
3019, 29supub 8309 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝑀 ∈ (𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) → ¬ sup((𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ) < 𝑀))
311, 14, 30sylc 65 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0) → ¬ sup((𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ) < 𝑀)
32 dgrub.2 . . . . . 6 𝑁 = (deg‘𝐹)
333dgrval 23888 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) = sup((𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))
3432, 33syl5eq 2667 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 = sup((𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))
351, 34syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0) → 𝑁 = sup((𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))
3635breq1d 4623 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0) → (𝑁 < 𝑀 ↔ sup((𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ) < 𝑀))
3731, 36mtbird 315 . 2 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0) → ¬ 𝑁 < 𝑀)
382nn0red 11296 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℝ)
39 dgrcl 23893 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
4032, 39syl5eqel 2702 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
411, 40syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4241nn0red 11296 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
4338, 42lenltd 10127 . 2 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
4437, 43mpbird 247 1 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0) → 𝑀𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  cdif 3552  cun 3553  wss 3555  {csn 4148   class class class wbr 4613   Or wor 4994  ccnv 5073  dom cdm 5074  cima 5077   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  supcsup 8290  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880   < clt 10018  cle 10019  0cn0 11236  cz 11321  Polycply 23844  coeffccoe 23846  degcdgr 23847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-0p 23343  df-ply 23848  df-coe 23850  df-dgr 23851
This theorem is referenced by:  dgrub2  23895  coeidlem  23897  coeid3  23900  dgreq  23904  coemullem  23910  coemulhi  23914  coemulc  23915  dgreq0  23925  dgrlt  23926  dgradd2  23928  dgrmul  23930  vieta1lem2  23970  aannenlem2  23988
  Copyright terms: Public domain W3C validator