Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dgrub 23894
 Description: If the 𝑀-th coefficient of 𝐹 is nonzero, then the degree of 𝐹 is at least 𝑀. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrub.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
dgrub.2 𝑁 = (deg‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
dgrub ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0) → 𝑀𝑁)

Proof of Theorem dgrub
Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1059 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 simp2 1060 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
3 dgrub.1 . . . . . . . . 9 𝐴 = (coeff‘𝐹)
43coef3 23892 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
51, 4syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
65, 2ffvelrnd 6316 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0) → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
7 simp3 1061 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0) → (𝐴𝑀) ≠ 0)
8 eldifsn 4287 . . . . . 6 ((𝐴𝑀) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝐴𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0))
96, 7, 8sylanbrc 697 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0) → (𝐴𝑀) ∈ (ℂ ∖ {0}))
103coef 23890 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
11 ffn 6002 . . . . . 6 (𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) → 𝐴 Fn ℕ0)
12 elpreima 6293 . . . . . 6 (𝐴 Fn ℕ0 → (𝑀 ∈ (𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ∈ (ℂ ∖ {0}))))
131, 10, 11, 124syl 19 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0) → (𝑀 ∈ (𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ∈ (ℂ ∖ {0}))))
142, 9, 13mpbir2and 956 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0) → 𝑀 ∈ (𝐴 “ (ℂ ∖ {0})))
15 nn0ssre 11240 . . . . . . 7 0 ⊆ ℝ
16 ltso 10062 . . . . . . 7 < Or ℝ
17 soss 5013 . . . . . . 7 (ℕ0 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℕ0))
1815, 16, 17mp2 9 . . . . . 6 < Or ℕ0
1918a1i 11 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → < Or ℕ0)
20 0zd 11333 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 0 ∈ ℤ)
21 cnvimass 5444 . . . . . . 7 (𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ dom 𝐴
22 fdm 6008 . . . . . . . 8 (𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) → dom 𝐴 = ℕ0)
2310, 22syl 17 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → dom 𝐴 = ℕ0)
2421, 23syl5sseq 3632 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ ℕ0)
253dgrlem 23889 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ (𝐴 “ (ℂ ∖ {0}))𝑥𝑛))
2625simprd 479 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ (𝐴 “ (ℂ ∖ {0}))𝑥𝑛)
27 nn0uz 11666 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
2827uzsupss 11724 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ ℕ0 ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ (𝐴 “ (ℂ ∖ {0}))𝑥𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (∀𝑥 ∈ (𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) ¬ 𝑛 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑥 < 𝑛 → ∃𝑦 ∈ (𝐴 “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 < 𝑦)))
2920, 24, 26, 28syl3anc 1323 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (∀𝑥 ∈ (𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) ¬ 𝑛 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑥 < 𝑛 → ∃𝑦 ∈ (𝐴 “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 < 𝑦)))
3019, 29supub 8309 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝑀 ∈ (𝐴 “ (ℂ ∖ {0})) → ¬ sup((𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ) < 𝑀))
311, 14, 30sylc 65 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0) → ¬ sup((𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ) < 𝑀)
32 dgrub.2 . . . . . 6 𝑁 = (deg‘𝐹)
333dgrval 23888 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) = sup((𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))
3432, 33syl5eq 2667 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 = sup((𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))
351, 34syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0) → 𝑁 = sup((𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))
3635breq1d 4623 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0) → (𝑁 < 𝑀 ↔ sup((𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ) < 𝑀))
3731, 36mtbird 315 . 2 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0) → ¬ 𝑁 < 𝑀)
382nn0red 11296 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℝ)
39 dgrcl 23893 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
4032, 39syl5eqel 2702 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
411, 40syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4241nn0red 11296 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
4338, 42lenltd 10127 . 2 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
4437, 43mpbird 247 1 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0) → 𝑀𝑁)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907  ∃wrex 2908   ∖ cdif 3552   ∪ cun 3553   ⊆ wss 3555  {csn 4148   class class class wbr 4613   Or wor 4994  ◡ccnv 5073  dom cdm 5074   “ cima 5077   Fn wfn 5842  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  supcsup 8290  ℂcc 9878  ℝcr 9879  0cc0 9880   < clt 10018   ≤ cle 10019  ℕ0cn0 11236  ℤcz 11321  Polycply 23844  coeffccoe 23846  degcdgr 23847 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-0p 23343  df-ply 23848  df-coe 23850  df-dgr 23851 This theorem is referenced by:  dgrub2  23895  coeidlem  23897  coeid3  23900  dgreq  23904  coemullem  23910  coemulhi  23914  coemulc  23915  dgreq0  23925  dgrlt  23926  dgradd2  23928  dgrmul  23930  vieta1lem2  23970  aannenlem2  23988
 Copyright terms: Public domain W3C validator