Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dia0 36658
 Description: The value of the partial isomorphism A at the lattice zero is the singleton of the identity translation i.e. the zero subspace. (Contributed by NM, 26-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
dia0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dia0.z 0 = (0.‘𝐾)
dia0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia0.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dia0 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐼0 ) = {( I ↾ 𝐵)})

Proof of Theorem dia0
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 hlatl 34965 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
3 dia0.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
4 dia0.z . . . . . 6 0 = (0.‘𝐾)
53, 4atl0cl 34908 . . . . 5 (𝐾 ∈ AtLat → 0𝐵)
62, 5syl 17 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 0𝐵)
76adantr 480 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 0𝐵)
8 dia0.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
93, 8lhpbase 35602 . . . 4 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
10 eqid 2651 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
113, 10, 4atl0le 34909 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑊𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑊)
122, 9, 11syl2an 493 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 0 (le‘𝐾)𝑊)
13 eqid 2651 . . . 4 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14 eqid 2651 . . . 4 ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
15 dia0.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
163, 10, 8, 13, 14, 15diaval 36638 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 0𝐵0 (le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼0 ) = {𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾) 0 })
171, 7, 12, 16syl12anc 1364 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐼0 ) = {𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾) 0 })
182ad2antrr 762 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → 𝐾 ∈ AtLat)
193, 8, 13, 14trlcl 35769 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ 𝐵)
203, 10, 4atlle0 34910 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ 𝐵) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾) 0 ↔ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) = 0 ))
2118, 19, 20syl2anc 694 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾) 0 ↔ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) = 0 ))
223, 4, 8, 13, 14trlid0b 35783 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) = 0 ))
2321, 22bitr4d 271 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾) 0𝑓 = ( I ↾ 𝐵)))
2423rabbidva 3219 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → {𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾) 0 } = {𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑓 = ( I ↾ 𝐵)})
253, 8, 13idltrn 35754 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
26 rabsn 4288 . . 3 (( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) → {𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑓 = ( I ↾ 𝐵)} = {( I ↾ 𝐵)})
2725, 26syl 17 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → {𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑓 = ( I ↾ 𝐵)} = {( I ↾ 𝐵)})
2817, 24, 273eqtrd 2689 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐼0 ) = {( I ↾ 𝐵)})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {crab 2945  {csn 4210   class class class wbr 4685   I cid 5052   ↾ cres 5145  ‘cfv 5926  Basecbs 15904  lecple 15995  0.cp0 17084  AtLatcal 34869  HLchlt 34955  LHypclh 35588  LTrncltrn 35705  trLctrl 35763  DIsoAcdia 36634 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-map 7901  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-lhyp 35592  df-laut 35593  df-ldil 35708  df-ltrn 35709  df-trl 35764  df-disoa 36635 This theorem is referenced by:  dib0  36770
 Copyright terms: Public domain W3C validator