Theorem dia0 36658

Description: The value of the partial isomorphism A at the lattice zero is the singleton of the identity translation i.e. the zero subspace. (Contributed by NM, 26-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
dia0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dia0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
dia0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia0.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dia0	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 0 ) = {( I ↾ 𝐵)})

Proof of Theorem dia0

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		hlatl 34965	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
3		dia0.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		dia0.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
5	3, 4	atl0cl 34908	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 0 ∈ 𝐵)
6	2, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 0 ∈ 𝐵)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 ∈ 𝐵)
8		dia0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9	3, 8	lhpbase 35602	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
10		eqid 2651	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
11	3, 10, 4	atl0le 34909	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑊)
12	2, 9, 11	syl2an 493	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 (le‘𝐾)𝑊)
13		eqid 2651	. . . 4 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14		eqid 2651	. . . 4 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
15		dia0.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
16	3, 10, 8, 13, 14, 15	diaval 36638	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 0 (le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘ 0 ) = {𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾) 0 })
17	1, 7, 12, 16	syl12anc 1364	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 0 ) = {𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾) 0 })
18	2	ad2antrr 762	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → 𝐾 ∈ AtLat)
19	3, 8, 13, 14	trlcl 35769	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ 𝐵)
20	3, 10, 4	atlle0 34910	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ 𝐵) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾) 0 ↔ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) = 0 ))
21	18, 19, 20	syl2anc 694	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾) 0 ↔ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) = 0 ))
22	3, 4, 8, 13, 14	trlid0b 35783	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) = 0 ))
23	21, 22	bitr4d 271	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾) 0 ↔ 𝑓 = ( I ↾ 𝐵)))
24	23	rabbidva 3219	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → {𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾) 0 } = {𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑓 = ( I ↾ 𝐵)})
25	3, 8, 13	idltrn 35754	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
26		rabsn 4288	. . 3 ⊢ (( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) → {𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑓 = ( I ↾ 𝐵)} = {( I ↾ 𝐵)})
27	25, 26	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → {𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑓 = ( I ↾ 𝐵)} = {( I ↾ 𝐵)})
28	17, 24, 27	3eqtrd 2689	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘ 0 ) = {( I ↾ 𝐵)})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {crab 2945  {csn 4210   class class class wbr 4685   I cid 5052   ↾ cres 5145  ‘cfv 5926  Basecbs 15904  lecple 15995  0.cp0 17084  AtLatcal 34869  HLchlt 34955  LHypclh 35588  LTrncltrn 35705  trLctrl 35763  DIsoAcdia 36634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-map 7901  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-lhyp 35592  df-laut 35593  df-ldil 35708  df-ltrn 35709  df-trl 35764  df-disoa 36635

This theorem is referenced by:  dib0  36770