Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia1elN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dia1elN 35820
Description: The largest subspace in the range of partial isomorphism A. (Contributed by NM, 5-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dia1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia1.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia1.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dia1elN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑇 ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dia1elN
StepHypRef Expression
1 dia1.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dia1.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 dia1.i . . 3 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
41, 2, 3dia1N 35819 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐼𝑊) = 𝑇)
51, 3diaf11N 35815 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼)
6 f1ofun 6096 . . . 4 (𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼 → Fun 𝐼)
75, 6syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → Fun 𝐼)
81, 3dia1eldmN 35807 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊 ∈ dom 𝐼)
9 fvelrn 6308 . . 3 ((Fun 𝐼𝑊 ∈ dom 𝐼) → (𝐼𝑊) ∈ ran 𝐼)
107, 8, 9syl2anc 692 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐼𝑊) ∈ ran 𝐼)
114, 10eqeltrrd 2699 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑇 ∈ ran 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  dom cdm 5074  ran crn 5075  Fun wfun 5841  1-1-ontowf1o 5846  cfv 5847  HLchlt 34114  LHypclh 34747  LTrncltrn 34864  DIsoAcdia 35794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-riotaBAD 33716
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-undef 7344  df-map 7804  df-preset 16849  df-poset 16867  df-plt 16879  df-lub 16895  df-glb 16896  df-join 16897  df-meet 16898  df-p0 16960  df-p1 16961  df-lat 16967  df-clat 17029  df-oposet 33940  df-ol 33942  df-oml 33943  df-covers 34030  df-ats 34031  df-atl 34062  df-cvlat 34086  df-hlat 34115  df-llines 34261  df-lplanes 34262  df-lvols 34263  df-lines 34264  df-psubsp 34266  df-pmap 34267  df-padd 34559  df-lhyp 34751  df-laut 34752  df-ldil 34867  df-ltrn 34868  df-trl 34923  df-disoa 35795
This theorem is referenced by:  docaclN  35890
  Copyright terms: Public domain W3C validator