Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  diaglbN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem diaglbN 35821
Description: Partial isomorphism A of a lattice glb. (Contributed by NM, 3-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
diaglb.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
diaglb.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
diaglb.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
diaglbN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆   𝑥,𝑊

Proof of Theorem diaglbN
Dummy variables 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 hlclat 34122 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
32ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝐾 ∈ CLat)
4 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
6 diaglb.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 diaglb.i . . . . . . . . . 10 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
84, 5, 6, 7diadm 35801 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → dom 𝐼 = {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊})
98sseq2d 3612 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊}))
109biimpa 501 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ dom 𝐼) → 𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊})
1110adantrr 752 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊})
12 ssrab2 3666 . . . . . 6 {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ⊆ (Base‘𝐾)
1311, 12syl6ss 3595 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
14 diaglb.g . . . . . 6 𝐺 = (glb‘𝐾)
154, 14clatglbcl 17035 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾)) → (𝐺𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
163, 13, 15syl2anc 692 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐺𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
17 simprr 795 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ≠ ∅)
18 n0 3907 . . . . . 6 (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝑆)
1917, 18sylib 208 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → ∃𝑥 𝑥𝑆)
20 hllat 34127 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2120ad3antrrr 765 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
2216adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
23 ssel2 3578 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ dom 𝐼)
2423adantlr 750 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ dom 𝐼)
2524adantll 749 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ dom 𝐼)
264, 5, 6, 7diaeldm 35802 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑥 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊)))
2726ad2antrr 761 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊)))
2825, 27mpbid 222 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊))
2928simpld 475 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
304, 6lhpbase 34761 . . . . . . 7 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
3130ad3antlr 766 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
322ad3antrrr 765 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
3313adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
34 simpr 477 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
354, 5, 14clatglble 17046 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑆)(le‘𝐾)𝑥)
3632, 33, 34, 35syl3anc 1323 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑆)(le‘𝐾)𝑥)
3728simprd 479 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥(le‘𝐾)𝑊)
384, 5, 21, 22, 29, 31, 36, 37lattrd 16979 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑆)(le‘𝐾)𝑊)
3919, 38exlimddv 1860 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐺𝑆)(le‘𝐾)𝑊)
40 eqid 2621 . . . . 5 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
41 eqid 2621 . . . . 5 ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
424, 5, 6, 40, 41, 7diaelval 35799 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐺𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐺𝑆)(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑓 ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(𝐺𝑆))))
431, 16, 39, 42syl12anc 1321 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝑓 ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(𝐺𝑆))))
44 r19.28zv 4038 . . . . . 6 (𝑆 ≠ ∅ → (∀𝑥𝑆 (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ ∀𝑥𝑆 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥)))
4544ad2antll 764 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (∀𝑥𝑆 (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ ∀𝑥𝑆 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥)))
46 simpll 789 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
474, 5, 6, 40, 41, 7diaelval 35799 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑓 ∈ (𝐼𝑥) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥)))
4846, 28, 47syl2anc 692 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑓 ∈ (𝐼𝑥) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥)))
4948ralbidva 2979 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (∀𝑥𝑆 𝑓 ∈ (𝐼𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆 (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥)))
502ad3antrrr 765 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → 𝐾 ∈ CLat)
514, 6, 40, 41trlcl 34928 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ (Base‘𝐾))
5251adantlr 750 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ (Base‘𝐾))
5313adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
544, 5, 14clatleglb 17047 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(𝐺𝑆) ↔ ∀𝑥𝑆 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥))
5550, 52, 53, 54syl3anc 1323 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(𝐺𝑆) ↔ ∀𝑥𝑆 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥))
5655pm5.32da 672 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(𝐺𝑆)) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ ∀𝑥𝑆 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥)))
5745, 49, 563bitr4rd 301 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(𝐺𝑆)) ↔ ∀𝑥𝑆 𝑓 ∈ (𝐼𝑥)))
58 vex 3189 . . . . 5 𝑓 ∈ V
59 eliin 4491 . . . . 5 (𝑓 ∈ V → (𝑓 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆 𝑓 ∈ (𝐼𝑥)))
6058, 59ax-mp 5 . . . 4 (𝑓 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆 𝑓 ∈ (𝐼𝑥))
6157, 60syl6bbr 278 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(𝐺𝑆)) ↔ 𝑓 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)))
6243, 61bitrd 268 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝑓 ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ 𝑓 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)))
6362eqrdv 2619 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  {crab 2911  Vcvv 3186  wss 3555  c0 3891   ciin 4486   class class class wbr 4613  dom cdm 5074  cfv 5847  Basecbs 15781  lecple 15869  glbcglb 16864  Latclat 16966  CLatccla 17028  HLchlt 34114  LHypclh 34747  LTrncltrn 34864  trLctrl 34922  DIsoAcdia 35794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-map 7804  df-preset 16849  df-poset 16867  df-plt 16879  df-lub 16895  df-glb 16896  df-join 16897  df-meet 16898  df-p0 16960  df-p1 16961  df-lat 16967  df-clat 17029  df-oposet 33940  df-ol 33942  df-oml 33943  df-covers 34030  df-ats 34031  df-atl 34062  df-cvlat 34086  df-hlat 34115  df-lhyp 34751  df-laut 34752  df-ldil 34867  df-ltrn 34868  df-trl 34923  df-disoa 35795
This theorem is referenced by:  diameetN  35822  diaintclN  35824  dibglbN  35932
  Copyright terms: Public domain W3C validator