Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  diainN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem diainN 38073
Description: Inverse partial isomorphism A of an intersection. (Contributed by NM, 6-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
diam.m = (meet‘𝐾)
diam.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
diam.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
diainN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝑋𝑌) = (𝐼‘((𝐼𝑋) (𝐼𝑌))))

Proof of Theorem diainN
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 diam.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 diam.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
42, 3diacnvclN 38067 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼𝑋) ∈ dom 𝐼)
54adantrr 713 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝐼𝑋) ∈ dom 𝐼)
62, 3diacnvclN 38067 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → (𝐼𝑌) ∈ dom 𝐼)
76adantrl 712 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝐼𝑌) ∈ dom 𝐼)
8 diam.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
98, 2, 3diameetN 38072 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐼𝑋) ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼𝑌) ∈ dom 𝐼)) → (𝐼‘((𝐼𝑋) (𝐼𝑌))) = ((𝐼‘(𝐼𝑋)) ∩ (𝐼‘(𝐼𝑌))))
101, 5, 7, 9syl12anc 832 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝐼‘((𝐼𝑋) (𝐼𝑌))) = ((𝐼‘(𝐼𝑋)) ∩ (𝐼‘(𝐼𝑌))))
112, 3diaf11N 38065 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼)
1211adantr 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼𝑌 ∈ ran 𝐼)) → 𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼)
13 simprl 767 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼𝑌 ∈ ran 𝐼)) → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
14 f1ocnvfv2 7025 . . . 4 ((𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(𝐼𝑋)) = 𝑋)
1512, 13, 14syl2anc 584 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝐼‘(𝐼𝑋)) = 𝑋)
16 simprr 769 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼𝑌 ∈ ran 𝐼)) → 𝑌 ∈ ran 𝐼)
17 f1ocnvfv2 7025 . . . 4 ((𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼𝑌 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(𝐼𝑌)) = 𝑌)
1812, 16, 17syl2anc 584 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝐼‘(𝐼𝑌)) = 𝑌)
1915, 18ineq12d 4187 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼𝑌 ∈ ran 𝐼)) → ((𝐼‘(𝐼𝑋)) ∩ (𝐼‘(𝐼𝑌))) = (𝑋𝑌))
2010, 19eqtr2d 2854 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝑋𝑌) = (𝐼‘((𝐼𝑋) (𝐼𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  cin 3932  ccnv 5547  dom cdm 5548  ran crn 5549  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348  (class class class)co 7145  meetcmee 17543  HLchlt 36366  LHypclh 37000  DIsoAcdia 38044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-riotaBAD 35969
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-undef 7928  df-map 8397  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-p1 17638  df-lat 17644  df-clat 17706  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-llines 36514  df-lplanes 36515  df-lvols 36516  df-lines 36517  df-psubsp 36519  df-pmap 36520  df-padd 36812  df-lhyp 37004  df-laut 37005  df-ldil 37120  df-ltrn 37121  df-trl 37175  df-disoa 38045
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator