Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dialss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dialss 36652
Description: The value of partial isomorphism A is a subspace of partial vector space A. Part of Lemma M of [Crawley] p. 120 line 26. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dialss.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dialss.l = (le‘𝐾)
dialss.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dialss.u 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dialss.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
dialss.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
dialss (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (𝐼𝑋) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem dialss
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2652 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈))
2 dialss.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 eqid 2651 . . . . 5 ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4 dialss.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
5 eqid 2651 . . . . 5 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
6 eqid 2651 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
72, 3, 4, 5, 6dvabase 36612 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘(Scalar‘𝑈)) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
87eqcomd 2657 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
98adantr 480 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
10 eqid 2651 . . . . 5 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11 eqid 2651 . . . . 5 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
122, 10, 4, 11dvavbase 36618 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝑈) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
1312eqcomd 2657 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = (Base‘𝑈))
1413adantr 480 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = (Base‘𝑈))
15 eqidd 2652 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (+g𝑈) = (+g𝑈))
16 eqidd 2652 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → ( ·𝑠𝑈) = ( ·𝑠𝑈))
17 dialss.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
1817a1i 11 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → 𝑆 = (LSubSp‘𝑈))
19 dialss.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
20 dialss.l . . 3 = (le‘𝐾)
21 dialss.i . . 3 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
2219, 20, 2, 10, 21diass 36648 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (𝐼𝑋) ⊆ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
2319, 20, 2, 21dian0 36645 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (𝐼𝑋) ≠ ∅)
24 simpll 805 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑋))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
25 simpr1 1087 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑋))) → 𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
26 simplr 807 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑋))) → (𝑋𝐵𝑋 𝑊))
27 simpr2 1088 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑋))) → 𝑎 ∈ (𝐼𝑋))
2819, 20, 2, 10, 21diael 36649 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑋)) → 𝑎 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
2924, 26, 27, 28syl3anc 1366 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑋))) → 𝑎 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
30 eqid 2651 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑈) = ( ·𝑠𝑈)
312, 10, 3, 4, 30dvavsca 36622 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑥( ·𝑠𝑈)𝑎) = (𝑥𝑎))
3224, 25, 29, 31syl12anc 1364 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑋))) → (𝑥( ·𝑠𝑈)𝑎) = (𝑥𝑎))
3332oveq1d 6705 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑋))) → ((𝑥( ·𝑠𝑈)𝑎)(+g𝑈)𝑏) = ((𝑥𝑎)(+g𝑈)𝑏))
342, 10, 3tendocl 36372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑥𝑎) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
3524, 25, 29, 34syl3anc 1366 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑋))) → (𝑥𝑎) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
36 simpr3 1089 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑋))) → 𝑏 ∈ (𝐼𝑋))
3719, 20, 2, 10, 21diael 36649 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑋)) → 𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
3824, 26, 36, 37syl3anc 1366 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑋))) → 𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
39 eqid 2651 . . . . . 6 (+g𝑈) = (+g𝑈)
402, 10, 4, 39dvavadd 36620 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑥𝑎) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))) → ((𝑥𝑎)(+g𝑈)𝑏) = ((𝑥𝑎) ∘ 𝑏))
4124, 35, 38, 40syl12anc 1364 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑋))) → ((𝑥𝑎)(+g𝑈)𝑏) = ((𝑥𝑎) ∘ 𝑏))
4233, 41eqtrd 2685 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑋))) → ((𝑥( ·𝑠𝑈)𝑎)(+g𝑈)𝑏) = ((𝑥𝑎) ∘ 𝑏))
432, 10ltrnco 36324 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝑎) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ((𝑥𝑎) ∘ 𝑏) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
4424, 35, 38, 43syl3anc 1366 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑋))) → ((𝑥𝑎) ∘ 𝑏) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
45 hllat 34968 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
4645ad3antrrr 766 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑋))) → 𝐾 ∈ Lat)
47 eqid 2651 . . . . . . 7 ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
4819, 2, 10, 47trlcl 35769 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑥𝑎) ∘ 𝑏) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑥𝑎) ∘ 𝑏)) ∈ 𝐵)
4924, 44, 48syl2anc 694 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑥𝑎) ∘ 𝑏)) ∈ 𝐵)
5019, 2, 10, 47trlcl 35769 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝑎) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥𝑎)) ∈ 𝐵)
5124, 35, 50syl2anc 694 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥𝑎)) ∈ 𝐵)
5219, 2, 10, 47trlcl 35769 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ∈ 𝐵)
5324, 38, 52syl2anc 694 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ∈ 𝐵)
54 eqid 2651 . . . . . . 7 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
5519, 54latjcl 17098 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥𝑎)) ∈ 𝐵 ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ∈ 𝐵) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥𝑎))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏)) ∈ 𝐵)
5646, 51, 53, 55syl3anc 1366 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑋))) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥𝑎))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏)) ∈ 𝐵)
57 simplrl 817 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑋))) → 𝑋𝐵)
5820, 54, 2, 10, 47trlco 36332 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝑎) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑥𝑎) ∘ 𝑏)) ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥𝑎))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏)))
5924, 35, 38, 58syl3anc 1366 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑥𝑎) ∘ 𝑏)) ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥𝑎))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏)))
6019, 2, 10, 47trlcl 35769 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑎 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑎) ∈ 𝐵)
6124, 29, 60syl2anc 694 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑎) ∈ 𝐵)
6220, 2, 10, 47, 3tendotp 36366 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥𝑎)) (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑎))
6324, 25, 29, 62syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥𝑎)) (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑎))
6419, 20, 2, 10, 47, 21diatrl 36650 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑋)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑎) 𝑋)
6524, 26, 27, 64syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑎) 𝑋)
6619, 20, 46, 51, 61, 57, 63, 65lattrd 17105 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥𝑎)) 𝑋)
6719, 20, 2, 10, 47, 21diatrl 36650 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑋)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) 𝑋)
6824, 26, 36, 67syl3anc 1366 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) 𝑋)
6919, 20, 54latjle12 17109 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥𝑎)) ∈ 𝐵 ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ∈ 𝐵𝑋𝐵)) → (((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥𝑎)) 𝑋 ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) 𝑋) ↔ ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥𝑎))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏)) 𝑋))
7046, 51, 53, 57, 69syl13anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑋))) → (((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥𝑎)) 𝑋 ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) 𝑋) ↔ ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥𝑎))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏)) 𝑋))
7166, 68, 70mpbi2and 976 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑋))) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥𝑎))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏)) 𝑋)
7219, 20, 46, 49, 56, 57, 59, 71lattrd 17105 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑥𝑎) ∘ 𝑏)) 𝑋)
7319, 20, 2, 10, 47, 21diaelval 36639 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (((𝑥𝑎) ∘ 𝑏) ∈ (𝐼𝑋) ↔ (((𝑥𝑎) ∘ 𝑏) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑥𝑎) ∘ 𝑏)) 𝑋)))
7473adantr 480 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑋))) → (((𝑥𝑎) ∘ 𝑏) ∈ (𝐼𝑋) ↔ (((𝑥𝑎) ∘ 𝑏) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑥𝑎) ∘ 𝑏)) 𝑋)))
7544, 72, 74mpbir2and 977 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑋))) → ((𝑥𝑎) ∘ 𝑏) ∈ (𝐼𝑋))
7642, 75eqeltrd 2730 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑋))) → ((𝑥( ·𝑠𝑈)𝑎)(+g𝑈)𝑏) ∈ (𝐼𝑋))
771, 9, 14, 15, 16, 18, 22, 23, 76islssd 18984 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (𝐼𝑋) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  ccom 5147  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  Scalarcsca 15991   ·𝑠 cvsca 15992  lecple 15995  joincjn 16991  Latclat 17092  LSubSpclss 18980  HLchlt 34955  LHypclh 35588  LTrncltrn 35705  trLctrl 35763  TEndoctendo 36357  DVecAcdveca 36607  DIsoAcdia 36634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-riotaBAD 34557
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-undef 7444  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-lss 18981  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-llines 35102  df-lplanes 35103  df-lvols 35104  df-lines 35105  df-psubsp 35107  df-pmap 35108  df-padd 35400  df-lhyp 35592  df-laut 35593  df-ldil 35708  df-ltrn 35709  df-trl 35764  df-tendo 36360  df-edring 36362  df-dveca 36608  df-disoa 36635
This theorem is referenced by:  diasslssN  36665  dia2dimlem5  36674  dia2dimlem7  36676  dia2dimlem9  36678  dia2dimlem10  36679  dia2dimlem13  36682  diblsmopel  36777
  Copyright terms: Public domain W3C validator