Theorem dialss 38174

Description: The value of partial isomorphism A is a subspace of partial vector space A. Part of Lemma M of [Crawley] p. 120 line 26. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dialss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dialss.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dialss.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dialss.u	⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dialss.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
dialss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dialss	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem dialss

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2820	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈))
2		dialss.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2819	. . . . 5 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		dialss.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2819	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
6		eqid 2819	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
7	2, 3, 4, 5, 6	dvabase 38135	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘(Scalar‘𝑈)) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
8	7	eqcomd 2825	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
9	8	adantr 483	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
10		eqid 2819	. . . . 5 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11		eqid 2819	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
12	2, 10, 4, 11	dvavbase 38141	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝑈) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
13	12	eqcomd 2825	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = (Base‘𝑈))
14	13	adantr 483	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = (Base‘𝑈))
15		eqidd 2820	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈))
16		eqidd 2820	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈))
17		dialss.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
18	17	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑆 = (LSubSp‘𝑈))
19		dialss.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
20		dialss.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
21		dialss.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
22	19, 20, 2, 10, 21	diass 38170	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) ⊆ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
23	19, 20, 2, 21	dian0 38167	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) ≠ ∅)
24		simpll 765	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
25		simpr1 1189	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → 𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
26		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊))
27		simpr2 1190	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋))
28	19, 20, 2, 10, 21	diael 38171	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋)) → 𝑎 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
29	24, 26, 27, 28	syl3anc 1366	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → 𝑎 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
30		eqid 2819	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
31	2, 10, 3, 4, 30	dvavsca 38145	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎) = (𝑥‘𝑎))
32	24, 25, 29, 31	syl12anc 834	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎) = (𝑥‘𝑎))
33	32	oveq1d 7163	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎)(+g‘𝑈)𝑏) = ((𝑥‘𝑎)(+g‘𝑈)𝑏))
34	2, 10, 3	tendocl 37895	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑥‘𝑎) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
35	24, 25, 29, 34	syl3anc 1366	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (𝑥‘𝑎) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
36		simpr3 1191	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))
37	19, 20, 2, 10, 21	diael 38171	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋)) → 𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
38	24, 26, 36, 37	syl3anc 1366	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → 𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
39		eqid 2819	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
40	2, 10, 4, 39	dvavadd 38143	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑥‘𝑎) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))) → ((𝑥‘𝑎)(+g‘𝑈)𝑏) = ((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏))
41	24, 35, 38, 40	syl12anc 834	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → ((𝑥‘𝑎)(+g‘𝑈)𝑏) = ((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏))
42	33, 41	eqtrd 2854	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎)(+g‘𝑈)𝑏) = ((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏))
43	2, 10	ltrnco 37847	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥‘𝑎) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
44	24, 35, 38, 43	syl3anc 1366	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → ((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
45		hllat 36491	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
46	45	ad3antrrr 728	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → 𝐾 ∈ Lat)
47		eqid 2819	. . . . . . 7 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
48	19, 2, 10, 47	trlcl 37292	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏)) ∈ 𝐵)
49	24, 44, 48	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏)) ∈ 𝐵)
50	19, 2, 10, 47	trlcl 37292	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥‘𝑎) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ∈ 𝐵)
51	24, 35, 50	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ∈ 𝐵)
52	19, 2, 10, 47	trlcl 37292	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ∈ 𝐵)
53	24, 38, 52	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ∈ 𝐵)
54		eqid 2819	. . . . . . 7 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
55	19, 54	latjcl 17653	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ∈ 𝐵 ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ∈ 𝐵) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏)) ∈ 𝐵)
56	46, 51, 53, 55	syl3anc 1366	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏)) ∈ 𝐵)
57		simplrl 775	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
58	20, 54, 2, 10, 47	trlco 37855	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥‘𝑎) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏)) ≤ ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏)))
59	24, 35, 38, 58	syl3anc 1366	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏)) ≤ ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏)))
60	19, 2, 10, 47	trlcl 37292	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑎 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑎) ∈ 𝐵)
61	24, 29, 60	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑎) ∈ 𝐵)
62	20, 2, 10, 47, 3	tendotp 37889	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ≤ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑎))
63	24, 25, 29, 62	syl3anc 1366	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ≤ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑎))
64	19, 20, 2, 10, 47, 21	diatrl 38172	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑎) ≤ 𝑋)
65	24, 26, 27, 64	syl3anc 1366	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑎) ≤ 𝑋)
66	19, 20, 46, 51, 61, 57, 63, 65	lattrd 17660	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ≤ 𝑋)
67	19, 20, 2, 10, 47, 21	diatrl 38172	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≤ 𝑋)
68	24, 26, 36, 67	syl3anc 1366	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≤ 𝑋)
69	19, 20, 54	latjle12 17664	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ∈ 𝐵 ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ≤ 𝑋 ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≤ 𝑋) ↔ ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏)) ≤ 𝑋))
70	46, 51, 53, 57, 69	syl13anc 1367	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎)) ≤ 𝑋 ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≤ 𝑋) ↔ ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏)) ≤ 𝑋))
71	66, 68, 70	mpbi2and 710	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑥‘𝑎))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏)) ≤ 𝑋)
72	19, 20, 46, 49, 56, 57, 59, 71	lattrd 17660	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏)) ≤ 𝑋)
73	19, 20, 2, 10, 47, 21	diaelval 38161	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏) ∈ (𝐼‘𝑋) ↔ (((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏)) ≤ 𝑋)))
74	73	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → (((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏) ∈ (𝐼‘𝑋) ↔ (((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏)) ≤ 𝑋)))
75	44, 72, 74	mpbir2and 711	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → ((𝑥‘𝑎) ∘ 𝑏) ∈ (𝐼‘𝑋))
76	42, 75	eqeltrd 2911	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼‘𝑋))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)𝑎)(+g‘𝑈)𝑏) ∈ (𝐼‘𝑋))
77	1, 9, 14, 15, 16, 18, 22, 23, 76	islssd 19699	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1082   = wceq 1531   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5057   ∘ ccom 5552  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  Basecbs 16475  +_gcplusg 16557  Scalarcsca 16560   ·_𝑠 cvsca 16561  lecple 16564  joincjn 17546  Latclat 17647  LSubSpclss 19695  HLchlt 36478  LHypclh 37112  LTrncltrn 37229  trLctrl 37286  TEndoctendo 37880  DVecAcdveca 38130  DIsoAcdia 38156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-riotaBAD 36081

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-undef 7931  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-lss 19696  df-oposet 36304  df-ol 36306  df-oml 36307  df-covers 36394  df-ats 36395  df-atl 36426  df-cvlat 36450  df-hlat 36479  df-llines 36626  df-lplanes 36627  df-lvols 36628  df-lines 36629  df-psubsp 36631  df-pmap 36632  df-padd 36924  df-lhyp 37116  df-laut 37117  df-ldil 37232  df-ltrn 37233  df-trl 37287  df-tendo 37883  df-edring 37885  df-dveca 38131  df-disoa 38157

This theorem is referenced by:  diasslssN  38187  dia2dimlem5  38196  dia2dimlem7  38198  dia2dimlem9  38200  dia2dimlem10  38201  dia2dimlem13  38204  diblsmopel  38299