Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  diameetN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem diameetN 35822
Description: Partial isomorphism A of a lattice meet. (Contributed by NM, 5-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
diam.m = (meet‘𝐾)
diam.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
diam.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
diameetN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))

Proof of Theorem diameetN
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . 4 (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
2 diam.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
3 simpll 789 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → 𝐾 ∈ HL)
4 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5 diam.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 diam.i . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
74, 5, 6diadmclN 35803 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
87adantrr 752 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
94, 5, 6diadmclN 35803 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐼) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
109adantrl 751 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
111, 2, 3, 8, 10meetval 16940 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝑋 𝑌) = ((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌}))
1211fveq2d 6152 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = (𝐼‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})))
13 simpl 473 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
14 prssi 4321 . . . 4 ((𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼) → {𝑋, 𝑌} ⊆ dom 𝐼)
1514adantl 482 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → {𝑋, 𝑌} ⊆ dom 𝐼)
16 prnzg 4281 . . . 4 (𝑋 ∈ dom 𝐼 → {𝑋, 𝑌} ≠ ∅)
1716ad2antrl 763 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → {𝑋, 𝑌} ≠ ∅)
181, 5, 6diaglbN 35821 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ({𝑋, 𝑌} ⊆ dom 𝐼 ∧ {𝑋, 𝑌} ≠ ∅)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})) = 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝐼𝑥))
1913, 15, 17, 18syl12anc 1321 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})) = 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝐼𝑥))
20 fveq2 6148 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝐼𝑥) = (𝐼𝑋))
21 fveq2 6148 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → (𝐼𝑥) = (𝐼𝑌))
2220, 21iinxprg 4567 . . 3 ((𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼) → 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝐼𝑥) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
2322adantl 482 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝐼𝑥) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
2412, 19, 233eqtrd 2659 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cin 3554  wss 3555  c0 3891  {cpr 4150   ciin 4486  dom cdm 5074  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  glbcglb 16864  meetcmee 16866  HLchlt 34114  LHypclh 34747  DIsoAcdia 35794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-map 7804  df-preset 16849  df-poset 16867  df-plt 16879  df-lub 16895  df-glb 16896  df-join 16897  df-meet 16898  df-p0 16960  df-p1 16961  df-lat 16967  df-clat 17029  df-oposet 33940  df-ol 33942  df-oml 33943  df-covers 34030  df-ats 34031  df-atl 34062  df-cvlat 34086  df-hlat 34115  df-lhyp 34751  df-laut 34752  df-ldil 34867  df-ltrn 34868  df-trl 34923  df-disoa 35795
This theorem is referenced by:  diainN  35823  djajN  35903
  Copyright terms: Public domain W3C validator