Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  diaocN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem diaocN 36233
 Description: Value of partial isomorphism A at lattice orthocomplement (using a Sasaki projection to get orthocomplement relative to the fiducial co-atom 𝑊). (Contributed by NM, 6-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
diaoc.j = (join‘𝐾)
diaoc.m = (meet‘𝐾)
diaoc.o = (oc‘𝐾)
diaoc.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
diaoc.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
diaoc.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
diaoc.n 𝑁 = ((ocA‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
diaocN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘((( 𝑋) ( 𝑊)) 𝑊)) = (𝑁‘(𝐼𝑋)))

Proof of Theorem diaocN
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 eqid 2620 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 diaoc.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 diaoc.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
52, 3, 4diadmclN 36145 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
6 eqid 2620 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
76, 3, 4diadmleN 36146 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑋(le‘𝐾)𝑊)
8 diaoc.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
92, 6, 3, 8, 4diass 36150 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼𝑋) ⊆ 𝑇)
101, 5, 7, 9syl12anc 1322 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼𝑋) ⊆ 𝑇)
11 diaoc.j . . . 4 = (join‘𝐾)
12 diaoc.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
13 diaoc.o . . . 4 = (oc‘𝐾)
14 diaoc.n . . . 4 𝑁 = ((ocA‘𝐾)‘𝑊)
1511, 12, 13, 3, 8, 4, 14docavalN 36231 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ 𝑇) → (𝑁‘(𝐼𝑋)) = (𝐼‘((( ‘(𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼𝑋) ⊆ 𝑧})) ( 𝑊)) 𝑊)))
1610, 15syldan 487 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝑁‘(𝐼𝑋)) = (𝐼‘((( ‘(𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼𝑋) ⊆ 𝑧})) ( 𝑊)) 𝑊)))
173, 4diaclN 36158 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼𝑋) ∈ ran 𝐼)
18 intmin 4488 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑋) ∈ ran 𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼𝑋) ⊆ 𝑧} = (𝐼𝑋))
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼𝑋) ⊆ 𝑧} = (𝐼𝑋))
2019fveq2d 6182 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼𝑋) ⊆ 𝑧}) = (𝐼‘(𝐼𝑋)))
213, 4diaf11N 36157 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼)
22 f1ocnvfv1 6517 . . . . . . . 8 ((𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘(𝐼𝑋)) = 𝑋)
2321, 22sylan 488 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘(𝐼𝑋)) = 𝑋)
2420, 23eqtrd 2654 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼𝑋) ⊆ 𝑧}) = 𝑋)
2524fveq2d 6182 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → ( ‘(𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼𝑋) ⊆ 𝑧})) = ( 𝑋))
2625oveq1d 6650 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (( ‘(𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼𝑋) ⊆ 𝑧})) ( 𝑊)) = (( 𝑋) ( 𝑊)))
2726oveq1d 6650 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → ((( ‘(𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼𝑋) ⊆ 𝑧})) ( 𝑊)) 𝑊) = ((( 𝑋) ( 𝑊)) 𝑊))
2827fveq2d 6182 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘((( ‘(𝐼 {𝑧 ∈ ran 𝐼 ∣ (𝐼𝑋) ⊆ 𝑧})) ( 𝑊)) 𝑊)) = (𝐼‘((( 𝑋) ( 𝑊)) 𝑊)))
2916, 28eqtr2d 2655 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘((( 𝑋) ( 𝑊)) 𝑊)) = (𝑁‘(𝐼𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1481   ∈ wcel 1988  {crab 2913   ⊆ wss 3567  ∩ cint 4466   class class class wbr 4644  ◡ccnv 5103  dom cdm 5104  ran crn 5105  –1-1-onto→wf1o 5875  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  Basecbs 15838  lecple 15929  occoc 15930  joincjn 16925  meetcmee 16926  HLchlt 34456  LHypclh 35089  LTrncltrn 35206  DIsoAcdia 36136  ocAcocaN 36227 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-riotaBAD 34058 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-undef 7384  df-map 7844  df-preset 16909  df-poset 16927  df-plt 16939  df-lub 16955  df-glb 16956  df-join 16957  df-meet 16958  df-p0 17020  df-p1 17021  df-lat 17027  df-clat 17089  df-oposet 34282  df-ol 34284  df-oml 34285  df-covers 34372  df-ats 34373  df-atl 34404  df-cvlat 34428  df-hlat 34457  df-llines 34603  df-lplanes 34604  df-lvols 34605  df-lines 34606  df-psubsp 34608  df-pmap 34609  df-padd 34901  df-lhyp 35093  df-laut 35094  df-ldil 35209  df-ltrn 35210  df-trl 35265  df-disoa 36137  df-docaN 36228 This theorem is referenced by:  doca2N  36234  djajN  36245
 Copyright terms: Public domain W3C validator