Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  diasslssN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem diasslssN 36665
Description: The partial isomorphism A maps to subspaces of partial vector space A. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
diasslss.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
diasslss.u 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
diasslss.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
diasslss.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
diasslssN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ran 𝐼𝑆)

Proof of Theorem diasslssN
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 diasslss.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 diasslss.i . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
31, 2diaf11N 36655 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼)
4 f1ocnvfv2 6573 . . . . 5 ((𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼𝑥 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(𝐼𝑥)) = 𝑥)
53, 4sylan 487 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(𝐼𝑥)) = 𝑥)
61, 2diacnvclN 36657 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → (𝐼𝑥) ∈ dom 𝐼)
7 eqid 2651 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8 eqid 2651 . . . . . . . 8 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
97, 8, 1, 2diaeldm 36642 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝐼𝑥) ∈ dom 𝐼 ↔ ((𝐼𝑥) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐼𝑥)(le‘𝐾)𝑊)))
109adantr 480 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → ((𝐼𝑥) ∈ dom 𝐼 ↔ ((𝐼𝑥) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐼𝑥)(le‘𝐾)𝑊)))
116, 10mpbid 222 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → ((𝐼𝑥) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐼𝑥)(le‘𝐾)𝑊))
12 diasslss.u . . . . . 6 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
13 diasslss.s . . . . . 6 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
147, 8, 1, 12, 2, 13dialss 36652 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐼𝑥) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐼𝑥)(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘(𝐼𝑥)) ∈ 𝑆)
1511, 14syldan 486 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(𝐼𝑥)) ∈ 𝑆)
165, 15eqeltrrd 2731 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐼) → 𝑥𝑆)
1716ex 449 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑥 ∈ ran 𝐼𝑥𝑆))
1817ssrdv 3642 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ran 𝐼𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wss 3607   class class class wbr 4685  ccnv 5142  dom cdm 5143  ran crn 5144  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  Basecbs 15904  lecple 15995  LSubSpclss 18980  HLchlt 34955  LHypclh 35588  DVecAcdveca 36607  DIsoAcdia 36634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-riotaBAD 34557
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-undef 7444  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-lss 18981  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-llines 35102  df-lplanes 35103  df-lvols 35104  df-lines 35105  df-psubsp 35107  df-pmap 35108  df-padd 35400  df-lhyp 35592  df-laut 35593  df-ldil 35708  df-ltrn 35709  df-trl 35764  df-tendo 36360  df-edring 36362  df-dveca 36608  df-disoa 36635
This theorem is referenced by:  diarnN  36735
  Copyright terms: Public domain W3C validator