Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dib1dim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dib1dim 35931
Description: Two expressions for the 1-dimensional subspaces of vector space H. (Contributed by NM, 24-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dib1dim.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dib1dim.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dib1dim.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dib1dim.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dib1dim.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dib1dim.o 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dib1dim.i 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dib1dim (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝐹)) = {𝑔 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑠𝐸 𝑔 = ⟨(𝑠𝐹), 𝑂⟩})
Distinct variable groups:   𝐵,   𝑔,𝑠,𝐸   𝑔,𝐹,𝑠   𝐻,𝑠   ,𝑠,𝐾   𝑔,𝑂,𝑠   𝑅,𝑠   𝑔,,𝑇,𝑠   ,𝑊,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔,𝑠)   𝑅(𝑔,)   𝐸()   𝐹()   𝐻(𝑔,)   𝐼(𝑔,,𝑠)   𝐾(𝑔)   𝑂()   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem dib1dim
Dummy variables 𝑓 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 dib1dim.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 dib1dim.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 dib1dim.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5 dib1dim.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
62, 3, 4, 5trlcl 34928 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐵)
7 eqid 2621 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
87, 3, 4, 5trlle 34948 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹)(le‘𝐾)𝑊)
9 dib1dim.o . . . . 5 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
10 eqid 2621 . . . . 5 ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
11 dib1dim.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
122, 7, 3, 4, 9, 10, 11dibval2 35910 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑅𝐹) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝐹)(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘(𝑅𝐹)) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝐹)) × {𝑂}))
131, 6, 8, 12syl12anc 1321 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝐹)) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝐹)) × {𝑂}))
14 relxp 5188 . . . 4 Rel ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝐹)) × {𝑂})
15 opelxp 5106 . . . . 5 (⟨𝑓, 𝑡⟩ ∈ ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝐹)) × {𝑂}) ↔ (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝐹)) ∧ 𝑡 ∈ {𝑂}))
16 dib1dim.e . . . . . . . . 9 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
173, 4, 5, 16, 10dia1dim 35827 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝐹)) = {𝑓 ∣ ∃𝑠𝐸 𝑓 = (𝑠𝐹)})
1817abeq2d 2731 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝐹)) ↔ ∃𝑠𝐸 𝑓 = (𝑠𝐹)))
1918anbi1d 740 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝐹)) ∧ 𝑡 ∈ {𝑂}) ↔ (∃𝑠𝐸 𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 ∈ {𝑂})))
203, 4, 16tendocl 35532 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝐹𝑇) → (𝑠𝐹) ∈ 𝑇)
21203expa 1262 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑠𝐹) ∈ 𝑇)
2221an32s 845 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑠𝐸) → (𝑠𝐹) ∈ 𝑇)
232, 3, 4, 16, 9tendo0cl 35555 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑂𝐸)
2423ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑠𝐸) → 𝑂𝐸)
2522, 24jca 554 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑠𝐸) → ((𝑠𝐹) ∈ 𝑇𝑂𝐸))
26 eleq1 2686 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑠𝐹) → (𝑓𝑇 ↔ (𝑠𝐹) ∈ 𝑇))
27 eleq1 2686 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 𝑂 → (𝑡𝐸𝑂𝐸))
2826, 27bi2anan9 916 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂) → ((𝑓𝑇𝑡𝐸) ↔ ((𝑠𝐹) ∈ 𝑇𝑂𝐸)))
2925, 28syl5ibrcom 237 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑠𝐸) → ((𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂) → (𝑓𝑇𝑡𝐸)))
3029rexlimdva 3024 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (∃𝑠𝐸 (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂) → (𝑓𝑇𝑡𝐸)))
3130pm4.71rd 666 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (∃𝑠𝐸 (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂) ↔ ((𝑓𝑇𝑡𝐸) ∧ ∃𝑠𝐸 (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))))
32 velsn 4164 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ {𝑂} ↔ 𝑡 = 𝑂)
3332anbi2i 729 . . . . . . . 8 ((∃𝑠𝐸 𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 ∈ {𝑂}) ↔ (∃𝑠𝐸 𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))
34 r19.41v 3081 . . . . . . . 8 (∃𝑠𝐸 (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂) ↔ (∃𝑠𝐸 𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))
3533, 34bitr4i 267 . . . . . . 7 ((∃𝑠𝐸 𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 ∈ {𝑂}) ↔ ∃𝑠𝐸 (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))
36 df-3an 1038 . . . . . . 7 ((𝑓𝑇𝑡𝐸 ∧ ∃𝑠𝐸 (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂)) ↔ ((𝑓𝑇𝑡𝐸) ∧ ∃𝑠𝐸 (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂)))
3731, 35, 363bitr4g 303 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((∃𝑠𝐸 𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 ∈ {𝑂}) ↔ (𝑓𝑇𝑡𝐸 ∧ ∃𝑠𝐸 (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))))
3819, 37bitrd 268 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝐹)) ∧ 𝑡 ∈ {𝑂}) ↔ (𝑓𝑇𝑡𝐸 ∧ ∃𝑠𝐸 (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))))
3915, 38syl5bb 272 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (⟨𝑓, 𝑡⟩ ∈ ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝐹)) × {𝑂}) ↔ (𝑓𝑇𝑡𝐸 ∧ ∃𝑠𝐸 (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))))
4014, 39opabbi2dv 5231 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝐹)) × {𝑂}) = {⟨𝑓, 𝑡⟩ ∣ (𝑓𝑇𝑡𝐸 ∧ ∃𝑠𝐸 (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))})
4113, 40eqtrd 2655 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝐹)) = {⟨𝑓, 𝑡⟩ ∣ (𝑓𝑇𝑡𝐸 ∧ ∃𝑠𝐸 (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))})
42 eqeq1 2625 . . . . 5 (𝑔 = ⟨𝑓, 𝑡⟩ → (𝑔 = ⟨(𝑠𝐹), 𝑂⟩ ↔ ⟨𝑓, 𝑡⟩ = ⟨(𝑠𝐹), 𝑂⟩))
43 vex 3189 . . . . . 6 𝑓 ∈ V
44 vex 3189 . . . . . 6 𝑡 ∈ V
4543, 44opth 4905 . . . . 5 (⟨𝑓, 𝑡⟩ = ⟨(𝑠𝐹), 𝑂⟩ ↔ (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))
4642, 45syl6bb 276 . . . 4 (𝑔 = ⟨𝑓, 𝑡⟩ → (𝑔 = ⟨(𝑠𝐹), 𝑂⟩ ↔ (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂)))
4746rexbidv 3045 . . 3 (𝑔 = ⟨𝑓, 𝑡⟩ → (∃𝑠𝐸 𝑔 = ⟨(𝑠𝐹), 𝑂⟩ ↔ ∃𝑠𝐸 (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂)))
4847rabxp 5114 . 2 {𝑔 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑠𝐸 𝑔 = ⟨(𝑠𝐹), 𝑂⟩} = {⟨𝑓, 𝑡⟩ ∣ (𝑓𝑇𝑡𝐸 ∧ ∃𝑠𝐸 (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))}
4941, 48syl6eqr 2673 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝐹)) = {𝑔 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑠𝐸 𝑔 = ⟨(𝑠𝐹), 𝑂⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908  {crab 2911  {csn 4148  cop 4154   class class class wbr 4613  {copab 4672  cmpt 4673   I cid 4984   × cxp 5072  cres 5076  cfv 5847  Basecbs 15781  lecple 15869  HLchlt 34114  LHypclh 34747  LTrncltrn 34864  trLctrl 34922  TEndoctendo 35517  DIsoAcdia 35794  DIsoBcdib 35904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-riotaBAD 33716
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-undef 7344  df-map 7804  df-preset 16849  df-poset 16867  df-plt 16879  df-lub 16895  df-glb 16896  df-join 16897  df-meet 16898  df-p0 16960  df-p1 16961  df-lat 16967  df-clat 17029  df-oposet 33940  df-ol 33942  df-oml 33943  df-covers 34030  df-ats 34031  df-atl 34062  df-cvlat 34086  df-hlat 34115  df-llines 34261  df-lplanes 34262  df-lvols 34263  df-lines 34264  df-psubsp 34266  df-pmap 34267  df-padd 34559  df-lhyp 34751  df-laut 34752  df-ldil 34867  df-ltrn 34868  df-trl 34923  df-tendo 35520  df-disoa 35795  df-dib 35905
This theorem is referenced by:  dib1dim2  35934
  Copyright terms: Public domain W3C validator