Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dib1dim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dib1dim2 35934
Description: Two expressions for a 1-dimensional subspace of vector space H (when 𝐹 is a nonzero vector i.e. non-identity translation). (Contributed by NM, 24-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dib1dim2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dib1dim2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dib1dim2.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dib1dim2.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dib1dim2.o 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dib1dim2.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dib1dim2.i 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
dib1dim2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
dib1dim2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝐹)) = (𝑁‘{⟨𝐹, 𝑂⟩}))
Distinct variable groups:   𝐵,   ,𝐾   𝑇,   ,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑅()   𝑈()   𝐹()   𝐻()   𝐼()   𝑁()   𝑂()

Proof of Theorem dib1dim2
Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 2916 . . 3 {𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∣ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩} = {𝑢 ∣ (𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩)}
2 dib1dim2.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 dib1dim2.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 dib1dim2.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5 dib1dim2.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
6 eqid 2621 . . . 4 ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
7 dib1dim2.o . . . 4 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
8 dib1dim2.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8dib1dim 35931 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝐹)) = {𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∣ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩})
10 dib1dim2.u . . . . . . . 8 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
11 eqid 2621 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
12 eqid 2621 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
133, 6, 10, 11, 12dvhbase 35849 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘(Scalar‘𝑈)) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
1413adantr 481 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (Base‘(Scalar‘𝑈)) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
1514rexeqdv 3134 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (∃𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑢 = (𝑣( ·𝑠𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩) ↔ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = (𝑣( ·𝑠𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩)))
16 simpll 789 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
17 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
18 simplr 791 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → 𝐹𝑇)
192, 3, 4, 6, 7tendo0cl 35555 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
2019ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
21 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠𝑈) = ( ·𝑠𝑈)
223, 4, 6, 10, 21dvhopvsca 35868 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑣( ·𝑠𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩) = ⟨(𝑣𝐹), (𝑣𝑂)⟩)
2316, 17, 18, 20, 22syl13anc 1325 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑣( ·𝑠𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩) = ⟨(𝑣𝐹), (𝑣𝑂)⟩)
242, 3, 4, 6, 7tendo0mulr 35592 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑣𝑂) = 𝑂)
2524adantlr 750 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑣𝑂) = 𝑂)
2625opeq2d 4377 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → ⟨(𝑣𝐹), (𝑣𝑂)⟩ = ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩)
2723, 26eqtrd 2655 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑣( ·𝑠𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩) = ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩)
2827eqeq2d 2631 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑢 = (𝑣( ·𝑠𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩) ↔ 𝑢 = ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩))
2928rexbidva 3042 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = (𝑣( ·𝑠𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩) ↔ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩))
303, 4, 6tendocl 35532 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑣𝐹) ∈ 𝑇)
31303expa 1262 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑣𝐹) ∈ 𝑇)
3231an32s 845 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑣𝐹) ∈ 𝑇)
33 opelxpi 5108 . . . . . . . . 9 (((𝑣𝐹) ∈ 𝑇𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩ ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
3432, 20, 33syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩ ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
35 eleq1a 2693 . . . . . . . 8 (⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩ ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑢 = ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩ → 𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))))
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑢 = ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩ → 𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))))
3736rexlimdva 3024 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩ → 𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))))
3837pm4.71rd 666 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩ ↔ (𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩)))
3915, 29, 383bitrd 294 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (∃𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑢 = (𝑣( ·𝑠𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩) ↔ (𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩)))
4039abbidv 2738 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → {𝑢 ∣ ∃𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑢 = (𝑣( ·𝑠𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩)} = {𝑢 ∣ (𝑢 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ∃𝑣 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑢 = ⟨(𝑣𝐹), 𝑂⟩)})
411, 9, 403eqtr4a 2681 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝐹)) = {𝑢 ∣ ∃𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑢 = (𝑣( ·𝑠𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩)})
42 simpl 473 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
433, 10, 42dvhlmod 35876 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝑈 ∈ LMod)
44 simpr 477 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
4519adantr 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
46 eqid 2621 . . . . 5 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
473, 4, 6, 10, 46dvhelvbasei 35854 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → ⟨𝐹, 𝑂⟩ ∈ (Base‘𝑈))
4842, 44, 45, 47syl12anc 1321 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ⟨𝐹, 𝑂⟩ ∈ (Base‘𝑈))
49 dib1dim2.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5011, 12, 46, 21, 49lspsn 18921 . . 3 ((𝑈 ∈ LMod ∧ ⟨𝐹, 𝑂⟩ ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑁‘{⟨𝐹, 𝑂⟩}) = {𝑢 ∣ ∃𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑢 = (𝑣( ·𝑠𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩)})
5143, 48, 50syl2anc 692 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑁‘{⟨𝐹, 𝑂⟩}) = {𝑢 ∣ ∃𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑢 = (𝑣( ·𝑠𝑈)⟨𝐹, 𝑂⟩)})
5241, 51eqtr4d 2658 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝐹)) = (𝑁‘{⟨𝐹, 𝑂⟩}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  {cab 2607  wrex 2908  {crab 2911  {csn 4148  cop 4154  cmpt 4673   I cid 4984   × cxp 5072  cres 5076  ccom 5078  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  Scalarcsca 15865   ·𝑠 cvsca 15866  LModclmod 18784  LSpanclspn 18890  HLchlt 34114  LHypclh 34747  LTrncltrn 34864  trLctrl 34922  TEndoctendo 35517  DVecHcdvh 35844  DIsoBcdib 35904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-riotaBAD 33716
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-undef 7344  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-0g 16023  df-preset 16849  df-poset 16867  df-plt 16879  df-lub 16895  df-glb 16896  df-join 16897  df-meet 16898  df-p0 16960  df-p1 16961  df-lat 16967  df-clat 17029  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-dvr 18604  df-drng 18670  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-lvec 19022  df-oposet 33940  df-ol 33942  df-oml 33943  df-covers 34030  df-ats 34031  df-atl 34062  df-cvlat 34086  df-hlat 34115  df-llines 34261  df-lplanes 34262  df-lvols 34263  df-lines 34264  df-psubsp 34266  df-pmap 34267  df-padd 34559  df-lhyp 34751  df-laut 34752  df-ldil 34867  df-ltrn 34868  df-trl 34923  df-tendo 35520  df-edring 35522  df-disoa 35795  df-dvech 35845  df-dib 35905
This theorem is referenced by:  cdlemn2a  35962  dih1dimb  36006  dih1dimatlem  36095
  Copyright terms: Public domain W3C validator