Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  diclss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem diclss 36799
Description: The value of partial isomorphism C is a subspace of partial vector space H. (Contributed by NM, 16-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
diclss.l = (le‘𝐾)
diclss.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
diclss.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
diclss.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
diclss.i 𝐼 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
diclss.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
diclss (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝐼𝑄) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem diclss
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2652 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈))
2 diclss.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 eqid 2651 . . . . 5 ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4 diclss.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 eqid 2651 . . . . 5 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
6 eqid 2651 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
72, 3, 4, 5, 6dvhbase 36689 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘(Scalar‘𝑈)) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
87eqcomd 2657 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
98adantr 480 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
10 eqid 2651 . . . . 5 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11 eqid 2651 . . . . 5 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
122, 10, 3, 4, 11dvhvbase 36693 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝑈) = (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
1312eqcomd 2657 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘𝑈))
1413adantr 480 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘𝑈))
15 eqidd 2652 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (+g𝑈) = (+g𝑈))
16 eqidd 2652 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → ( ·𝑠𝑈) = ( ·𝑠𝑈))
17 diclss.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
1817a1i 11 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → 𝑆 = (LSubSp‘𝑈))
19 diclss.l . . . 4 = (le‘𝐾)
20 diclss.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
21 diclss.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
2219, 20, 2, 21, 4, 11dicssdvh 36792 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝐼𝑄) ⊆ (Base‘𝑈))
2322, 14sseqtr4d 3675 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝐼𝑄) ⊆ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
2419, 20, 2, 21dicn0 36798 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝐼𝑄) ≠ ∅)
25 simpll 805 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑄) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
26 simplr 807 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑄) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
27 simpr1 1087 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑄) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑄))) → 𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
28 simpr2 1088 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑄) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑄))) → 𝑎 ∈ (𝐼𝑄))
29 eqid 2651 . . . . 5 ( ·𝑠𝑈) = ( ·𝑠𝑈)
3019, 20, 2, 3, 4, 21, 29dicvscacl 36797 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝑥( ·𝑠𝑈)𝑎) ∈ (𝐼𝑄))
3125, 26, 27, 28, 30syl112anc 1370 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑄) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝑥( ·𝑠𝑈)𝑎) ∈ (𝐼𝑄))
32 simpr3 1089 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑄) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑄))) → 𝑏 ∈ (𝐼𝑄))
33 eqid 2651 . . . 4 (+g𝑈) = (+g𝑈)
3419, 20, 2, 4, 21, 33dicvaddcl 36796 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ ((𝑥( ·𝑠𝑈)𝑎) ∈ (𝐼𝑄) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑄))) → ((𝑥( ·𝑠𝑈)𝑎)(+g𝑈)𝑏) ∈ (𝐼𝑄))
3525, 26, 31, 32, 34syl112anc 1370 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑄) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑄))) → ((𝑥( ·𝑠𝑈)𝑎)(+g𝑈)𝑏) ∈ (𝐼𝑄))
361, 9, 14, 15, 16, 18, 23, 24, 35islssd 18984 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝐼𝑄) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685   × cxp 5141  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  Scalarcsca 15991   ·𝑠 cvsca 15992  lecple 15995  LSubSpclss 18980  Atomscatm 34868  HLchlt 34955  LHypclh 35588  LTrncltrn 35705  TEndoctendo 36357  DVecHcdvh 36684  DIsoCcdic 36778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-riotaBAD 34557
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-undef 7444  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-lss 18981  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-llines 35102  df-lplanes 35103  df-lvols 35104  df-lines 35105  df-psubsp 35107  df-pmap 35108  df-padd 35400  df-lhyp 35592  df-laut 35593  df-ldil 35708  df-ltrn 35709  df-trl 35764  df-tendo 36360  df-edring 36362  df-dvech 36685  df-dic 36779
This theorem is referenced by:  cdlemn5pre  36806  cdlemn11c  36815  dihjustlem  36822  dihord1  36824  dihord2a  36825  dihord2b  36826  dihord11c  36830  dihlsscpre  36840  dihvalcqat  36845  dihopelvalcpre  36854  dihord6apre  36862  dihord5b  36865  dihord5apre  36868
  Copyright terms: Public domain W3C validator