Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  difelcarsg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem difelcarsg 30500
 Description: The Caratheodory measurable sets are closed under complement. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (𝜑𝑂𝑉)
carsgval.2 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
difelcarsg.1 (𝜑𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
difelcarsg (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Proof of Theorem difelcarsg
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difssd 3771 . . 3 (𝜑 → (𝑂𝐴) ⊆ 𝑂)
2 indif2 3903 . . . . . . . 8 (𝑒 ∩ (𝑂𝐴)) = ((𝑒𝑂) ∖ 𝐴)
3 elpwi 4201 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑒𝑂)
43adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑒𝑂)
5 df-ss 3621 . . . . . . . . . 10 (𝑒𝑂 ↔ (𝑒𝑂) = 𝑒)
64, 5sylib 208 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒𝑂) = 𝑒)
76difeq1d 3760 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑒𝑂) ∖ 𝐴) = (𝑒𝐴))
82, 7syl5eq 2697 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∩ (𝑂𝐴)) = (𝑒𝐴))
98fveq2d 6233 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂𝐴))) = (𝑀‘(𝑒𝐴)))
10 difdif2 3917 . . . . . . . 8 (𝑒 ∖ (𝑂𝐴)) = ((𝑒𝑂) ∪ (𝑒𝐴))
11 ssdif0 3975 . . . . . . . . . . 11 (𝑒𝑂 ↔ (𝑒𝑂) = ∅)
124, 11sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒𝑂) = ∅)
1312uneq1d 3799 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑒𝑂) ∪ (𝑒𝐴)) = (∅ ∪ (𝑒𝐴)))
14 uncom 3790 . . . . . . . . . 10 ((𝑒𝐴) ∪ ∅) = (∅ ∪ (𝑒𝐴))
15 un0 4000 . . . . . . . . . 10 ((𝑒𝐴) ∪ ∅) = (𝑒𝐴)
1614, 15eqtr3i 2675 . . . . . . . . 9 (∅ ∪ (𝑒𝐴)) = (𝑒𝐴)
1713, 16syl6eq 2701 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑒𝑂) ∪ (𝑒𝐴)) = (𝑒𝐴))
1810, 17syl5eq 2697 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒 ∖ (𝑂𝐴)) = (𝑒𝐴))
1918fveq2d 6233 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂𝐴))) = (𝑀‘(𝑒𝐴)))
209, 19oveq12d 6708 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂𝐴)))) = ((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))))
21 iccssxr 12294 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
22 carsgval.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
2322adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
24 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂)
2524elpwdifcl 29484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
2623, 25ffvelrnd 6400 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
2721, 26sseldi 3634 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒𝐴)) ∈ ℝ*)
2824elpwincl1 29483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
2923, 28ffvelrnd 6400 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
3021, 29sseldi 3634 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒𝐴)) ∈ ℝ*)
31 xaddcom 12109 . . . . . 6 (((𝑀‘(𝑒𝐴)) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘(𝑒𝐴)) ∈ ℝ*) → ((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = ((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))))
3227, 30, 31syl2anc 694 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = ((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))))
33 difelcarsg.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
34 carsgval.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑂𝑉)
3534, 22elcarsg 30495 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (𝐴𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = (𝑀𝑒))))
3633, 35mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = (𝑀𝑒)))
3736simprd 478 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = (𝑀𝑒))
3837r19.21bi 2961 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝐴))) = (𝑀𝑒))
3920, 32, 383eqtrd 2689 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂𝐴)))) = (𝑀𝑒))
4039ralrimiva 2995 . . 3 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂𝐴)))) = (𝑀𝑒))
411, 40jca 553 . 2 (𝜑 → ((𝑂𝐴) ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂𝐴)))) = (𝑀𝑒)))
4234, 22elcarsg 30495 . 2 (𝜑 → ((𝑂𝐴) ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ ((𝑂𝐴) ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ (𝑂𝐴))) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ (𝑂𝐴)))) = (𝑀𝑒))))
4341, 42mpbird 247 1 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941   ∖ cdif 3604   ∪ cun 3605   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  𝒫 cpw 4191  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  +∞cpnf 10109  ℝ*cxr 10111   +𝑒 cxad 11982  [,]cicc 12216  toCaraSigaccarsg 30491 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-xadd 11985  df-icc 12220  df-carsg 30492 This theorem is referenced by:  unelcarsg  30502  difelcarsg2  30503  fiunelcarsg  30506  carsgsiga  30512
 Copyright terms: Public domain W3C validator