MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  diffi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem diffi 8152
Description: If 𝐴 is finite, (𝐴𝐵) is finite. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
diffi (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem diffi
StepHypRef Expression
1 difss 3721 . 2 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
2 ssfi 8140 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
31, 2mpan2 706 1 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1987  cdif 3557  wss 3560  Fincfn 7915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-om 7028  df-er 7702  df-en 7916  df-fin 7919
This theorem is referenced by:  dif1en  8153  unfi  8187  dif1card  8793  hashun2  13128  hashun3  13129  hashssdif  13156  hashdifpr  13159  hashfun  13180  hashf1lem2  13194  incexc  14513  fprodeq0g  14669  fprodfvdvdsd  15001  ramub1lem1  15673  ramub1lem2  15674  prmdvdsprmo  15689  psgnprfval  17881  sylow2alem2  17973  sylow2a  17974  gsummgp0  18548  psgnfix1  19884  psgndiflemB  19886  psgndif  19888  zrhcopsgndif  19889  dmatmul  20243  submaval  20327  1marepvsma1  20329  gsummatr01lem3  20403  gsummatr01  20405  smadiadetlem3  20414  smadiadet  20416  cramerimplem1  20429  cmpcld  21145  alexsubALTlem3  21793  cldsubg  21854  xrge0gsumle  22576  amgm  24651  rpvmasum2  25135  cusgrfilem3  26274  frgrhash2wsp  27089  fusgreghash2wspv  27091  gsummptres  29611  gsumesum  29944  ballotlemfp1  30376  ballotlemgun  30409  subfacp1lem1  30922  subfacp1lem3  30925  topdifinfindis  32865  matunitlindflem1  33076  poimirlem25  33105  poimirlem26  33106  poimirlem27  33107  poimirlem30  33110  elrfi  36776  eldioph2lem1  36842  eldioph2lem2  36843  pellexlem5  36916  fsumnncl  39239  fsumsplit1  39240  fprod0  39264  dvmptfprodlem  39496  stoweidlem44  39598  stoweidlem57  39611  fourierdlem42  39703  fourierdlem102  39762  fourierdlem114  39774  etransclem25  39813  etransclem35  39823  hspmbllem2  40178  fsummsndifre  40670  fsummmodsndifre  40672  mgpsumunsn  41458  mgpsumz  41459  mgpsumn  41460
  Copyright terms: Public domain W3C validator