Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  difgtsumgt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem difgtsumgt 11290
 Description: If the difference of a real number and a nonnegative integer is greater than another real number, the sum of the real number and the nonnegative integer is also greater than the other real number. (Contributed by AV, 13-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
difgtsumgt ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < (𝐴𝐵) → 𝐶 < (𝐴 + 𝐵)))

Proof of Theorem difgtsumgt
StepHypRef Expression
1 recn 9970 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 nn0cn 11246 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℂ)
31, 2anim12i 589 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
433adant3 1079 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
5 negsub 10273 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
64, 5syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
76eqcomd 2627 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵) = (𝐴 + -𝐵))
87breq2d 4625 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < (𝐴𝐵) ↔ 𝐶 < (𝐴 + -𝐵)))
9 simp3 1061 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
10 simp1 1059 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
11 nn0re 11245 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ)
1211renegcld 10401 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ0 → -𝐵 ∈ ℝ)
13123ad2ant2 1081 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℝ) → -𝐵 ∈ ℝ)
1410, 13readdcld 10013 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ)
15113ad2ant2 1081 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
1610, 15readdcld 10013 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
179, 14, 163jca 1240 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ))
18 nn0negleid 11289 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ0 → -𝐵𝐵)
19183ad2ant2 1081 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℝ) → -𝐵𝐵)
2013, 15, 10, 19leadd2dd 10586 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ≤ (𝐴 + 𝐵))
2117, 20lelttrdi 10143 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < (𝐴 + -𝐵) → 𝐶 < (𝐴 + 𝐵)))
228, 21sylbid 230 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < (𝐴𝐵) → 𝐶 < (𝐴 + 𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  ℂcc 9878  ℝcr 9879   + caddc 9883   < clt 10018   ≤ cle 10019   − cmin 10210  -cneg 10211  ℕ0cn0 11236 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237 This theorem is referenced by:  difsqpwdvds  15515
 Copyright terms: Public domain W3C validator