Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  difmap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem difmap 41346
Description: Difference of two sets exponentiations. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
difmap.a (𝜑𝐴𝑉)
difmap.b (𝜑𝐵𝑊)
difmap.v (𝜑𝐶𝑍)
difmap.n (𝜑𝐶 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
difmap (𝜑 → ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶) ⊆ ((𝐴m 𝐶) ∖ (𝐵m 𝐶)))

Proof of Theorem difmap
Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difmap.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑉)
2 difssd 4106 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴)
3 mapss 8441 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴) → ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶) ⊆ (𝐴m 𝐶))
41, 2, 3syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶) ⊆ (𝐴m 𝐶))
54adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)) → ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶) ⊆ (𝐴m 𝐶))
6 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)) → 𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶))
75, 6sseldd 3965 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)) → 𝑓 ∈ (𝐴m 𝐶))
8 difmap.n . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ≠ ∅)
9 n0 4307 . . . . . . . 8 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐶)
108, 9sylib 219 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥𝐶)
1110adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)) → ∃𝑥 𝑥𝐶)
12 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐶𝑓:𝐶𝐵) → 𝑓:𝐶𝐵)
13 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐶𝑓:𝐶𝐵) → 𝑥𝐶)
1412, 13ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐶𝑓:𝐶𝐵) → (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
1514adantll 710 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑓:𝐶𝐵) → (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
16 elmapi 8417 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶) → 𝑓:𝐶⟶(𝐴𝐵))
1716adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑓:𝐶⟶(𝐴𝐵))
18 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑥𝐶)
1917, 18ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶) ∧ 𝑥𝐶) → (𝑓𝑥) ∈ (𝐴𝐵))
20 eldifn 4101 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑥) ∈ (𝐴𝐵) → ¬ (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶) ∧ 𝑥𝐶) → ¬ (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
2221ad4ant23 749 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑓:𝐶𝐵) → ¬ (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
2315, 22pm2.65da 813 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)) ∧ 𝑥𝐶) → ¬ 𝑓:𝐶𝐵)
2423ex 413 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)) → (𝑥𝐶 → ¬ 𝑓:𝐶𝐵))
2524exlimdv 1925 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)) → (∃𝑥 𝑥𝐶 → ¬ 𝑓:𝐶𝐵))
2611, 25mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)) → ¬ 𝑓:𝐶𝐵)
27 difmap.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝑊)
28 difmap.v . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑍)
29 elmapg 8408 . . . . . . 7 ((𝐵𝑊𝐶𝑍) → (𝑓 ∈ (𝐵m 𝐶) ↔ 𝑓:𝐶𝐵))
3027, 28, 29syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐵m 𝐶) ↔ 𝑓:𝐶𝐵))
3130adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)) → (𝑓 ∈ (𝐵m 𝐶) ↔ 𝑓:𝐶𝐵))
3226, 31mtbird 326 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)) → ¬ 𝑓 ∈ (𝐵m 𝐶))
337, 32eldifd 3944 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)) → 𝑓 ∈ ((𝐴m 𝐶) ∖ (𝐵m 𝐶)))
3433ralrimiva 3179 . 2 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)𝑓 ∈ ((𝐴m 𝐶) ∖ (𝐵m 𝐶)))
35 dfss3 3953 . 2 (((𝐴𝐵) ↑m 𝐶) ⊆ ((𝐴m 𝐶) ∖ (𝐵m 𝐶)) ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶)𝑓 ∈ ((𝐴m 𝐶) ∖ (𝐵m 𝐶)))
3634, 35sylibr 235 1 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ↑m 𝐶) ⊆ ((𝐴m 𝐶) ∖ (𝐵m 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wex 1771  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  cdif 3930  wss 3933  c0 4288  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  m cmap 8395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-map 8397
This theorem is referenced by:  difmapsn  41351
  Copyright terms: Public domain W3C validator