Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  difmap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem difmap 38904
 Description: Difference of two sets exponentiations. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
difmap.a (𝜑𝐴𝑉)
difmap.b (𝜑𝐵𝑊)
difmap.v (𝜑𝐶𝑍)
difmap.n (𝜑𝐶 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
difmap (𝜑 → ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ⊆ ((𝐴𝑚 𝐶) ∖ (𝐵𝑚 𝐶)))

Proof of Theorem difmap
Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difmap.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑉)
2 difssd 3721 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴)
3 mapss 7852 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴) → ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐴𝑚 𝐶))
41, 2, 3syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐴𝑚 𝐶))
54adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶)) → ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐴𝑚 𝐶))
6 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶)) → 𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶))
75, 6sseldd 3588 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶)) → 𝑓 ∈ (𝐴𝑚 𝐶))
8 difmap.n . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ≠ ∅)
9 n0 3912 . . . . . . . 8 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐶)
108, 9sylib 208 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥𝐶)
1110adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶)) → ∃𝑥 𝑥𝐶)
12 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐶𝑓:𝐶𝐵) → 𝑓:𝐶𝐵)
13 simpl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐶𝑓:𝐶𝐵) → 𝑥𝐶)
1412, 13ffvelrnd 6321 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐶𝑓:𝐶𝐵) → (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
1514adantll 749 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶)) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑓:𝐶𝐵) → (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
16 elmapi 7831 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) → 𝑓:𝐶⟶(𝐴𝐵))
1716adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑓:𝐶⟶(𝐴𝐵))
18 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑥𝐶)
1917, 18ffvelrnd 6321 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ∧ 𝑥𝐶) → (𝑓𝑥) ∈ (𝐴𝐵))
20 eldifn 3716 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑥) ∈ (𝐴𝐵) → ¬ (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ∧ 𝑥𝐶) → ¬ (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
2221ad4ant23 1294 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶)) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑓:𝐶𝐵) → ¬ (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
2315, 22pm2.65da 599 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶)) ∧ 𝑥𝐶) → ¬ 𝑓:𝐶𝐵)
2423ex 450 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶)) → (𝑥𝐶 → ¬ 𝑓:𝐶𝐵))
2524exlimdv 1858 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶)) → (∃𝑥 𝑥𝐶 → ¬ 𝑓:𝐶𝐵))
2611, 25mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶)) → ¬ 𝑓:𝐶𝐵)
27 difmap.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝑊)
28 difmap.v . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑍)
29 elmapg 7822 . . . . . . 7 ((𝐵𝑊𝐶𝑍) → (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) ↔ 𝑓:𝐶𝐵))
3027, 28, 29syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) ↔ 𝑓:𝐶𝐵))
3130adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶)) → (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) ↔ 𝑓:𝐶𝐵))
3226, 31mtbird 315 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶)) → ¬ 𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐶))
337, 32eldifd 3570 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶)) → 𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 𝐶) ∖ (𝐵𝑚 𝐶)))
3433ralrimiva 2961 . 2 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶)𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 𝐶) ∖ (𝐵𝑚 𝐶)))
35 dfss3 3577 . 2 (((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ⊆ ((𝐴𝑚 𝐶) ∖ (𝐵𝑚 𝐶)) ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶)𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 𝐶) ∖ (𝐵𝑚 𝐶)))
3634, 35sylibr 224 1 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ⊆ ((𝐴𝑚 𝐶) ∖ (𝐵𝑚 𝐶)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384  ∃wex 1701   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907   ∖ cdif 3556   ⊆ wss 3559  ∅c0 3896  ⟶wf 5848  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610   ↑𝑚 cmap 7809 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-fv 5860  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-map 7811 This theorem is referenced by:  difmapsn  38909
 Copyright terms: Public domain W3C validator