Theorem difmodm1lt 44589

Description: The difference between an integer modulo a positive integer and the integer decreased by 1 modulo the same modulus is less than the modulus decreased by 1 (if the modulus is greater than 2). This theorem would not be valid for an odd 𝐴 and 𝑁 = 2, since ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) would be (1 − 0) = 1 which is not less than (𝑁 − 1) = 1. (Contributed by AV, 6-Jun-2012.)

Assertion

Ref	Expression
difmodm1lt	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1))

Proof of Theorem difmodm1lt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 485	. . . 4 ⊢ (((𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (𝐴 mod 𝑁) = 1)
2		zre 11988	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	3ad2ant1 1129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		nnre 11648	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
5	4	3ad2ant2 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
6		1lt2 11811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 2
7		1red 10645	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
8		2re 11714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
10	7, 9, 4	3jca 1124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
11		lttr 10720	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((1 < 2 ∧ 2 < 𝑁) → 1 < 𝑁))
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 < 2 ∧ 2 < 𝑁) → 1 < 𝑁))
13	6, 12	mpani 694	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 < 𝑁 → 1 < 𝑁))
14	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ → (2 < 𝑁 → 1 < 𝑁)))
15	14	3imp 1107	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 1 < 𝑁)
16	3, 5, 15	3jca 1124	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁))
17	16	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁))
18		m1mod0mod1 43536	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = 1))
19	17, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = 1))
20	1, 19	mpbird 259	. . . 4 ⊢ (((𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0)
21	1, 20	oveq12d 7177	. . 3 ⊢ (((𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) = (1 − 0))
22		df-2 11703	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 = (1 + 1)
23	22	breq1i 5076	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 < 𝑁 ↔ (1 + 1) < 𝑁)
24	23	biimpi 218	. . . . . . . 8 ⊢ (2 < 𝑁 → (1 + 1) < 𝑁)
25	24	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (1 + 1) < 𝑁)
26		1red 10645	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
27	4	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
28	26, 26, 27	ltaddsub2d 11244	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((1 + 1) < 𝑁 ↔ 1 < (𝑁 − 1)))
29	25, 28	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 1 < (𝑁 − 1))
30		1m0e1 11761	. . . . . . 7 ⊢ (1 − 0) = 1
31	30	breq1i 5076	. . . . . 6 ⊢ ((1 − 0) < (𝑁 − 1) ↔ 1 < (𝑁 − 1))
32	29, 31	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (1 − 0) < (𝑁 − 1))
33	32	3adant1 1126	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (1 − 0) < (𝑁 − 1))
34	33	adantl 484	. . 3 ⊢ (((𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (1 − 0) < (𝑁 − 1))
35	21, 34	eqbrtrd 5091	. 2 ⊢ (((𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1))
36		zmodfz 13264	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
37	36	3adant3 1128	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
38		elfzle2 12914	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 mod 𝑁) ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (𝐴 mod 𝑁) ≤ (𝑁 − 1))
39	37, 38	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ≤ (𝑁 − 1))
40	39	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (𝐴 mod 𝑁) ≤ (𝑁 − 1))
41		nnrp 12403	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
42	41	3ad2ant2 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
43	3, 42	modcld 13246	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℝ)
44		peano2rem 10956	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
45	4, 44	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
46	45	3ad2ant2 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
47		peano2zm 12028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
48	47	zred 12090	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
49	48	3ad2ant1 1129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
50	49, 42	modcld 13246	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ)
51	43, 46, 50	3jca 1124	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ))
52	51	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ))
53		lesub1 11137	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ) → ((𝐴 mod 𝑁) ≤ (𝑁 − 1) ↔ ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ≤ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁))))
54	52, 53	syl 17	. . . 4 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑁) ≤ (𝑁 − 1) ↔ ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ≤ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁))))
55	40, 54	mpbid 234	. . 3 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ≤ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)))
56	49, 42	jca 514	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
57	56	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
58		modge0 13250	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → 0 ≤ ((𝐴 − 1) mod 𝑁))
59	57, 58	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → 0 ≤ ((𝐴 − 1) mod 𝑁))
60	16, 18	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = 1))
61	60	bicomd 225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) = 1 ↔ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0))
62	61	notbid 320	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ↔ ¬ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0))
63	62	biimpac 481	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ¬ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0)
64	63	neqned 3026	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ≠ 0)
65	59, 64	jca 514	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (0 ≤ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ≠ 0))
66		0red 10647	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
67	66, 50	jca 514	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ))
68	67	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ))
69		ltlen 10744	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ) → (0 < ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ↔ (0 ≤ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ≠ 0)))
70	68, 69	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (0 < ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ↔ (0 ≤ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ≠ 0)))
71	65, 70	mpbird 259	. . . 4 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → 0 < ((𝐴 − 1) mod 𝑁))
72	50, 46	jca 514	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ))
73	72	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ))
74		ltsubpos 11135	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ) → (0 < ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ↔ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1)))
75	73, 74	syl 17	. . . 4 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (0 < ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ↔ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1)))
76	71, 75	mpbid 234	. . 3 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1))
77	43, 50	resubcld 11071	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∈ ℝ)
78	46, 50	resubcld 11071	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∈ ℝ)
79	77, 78, 46	3jca 1124	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ))
80	79	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ))
81		lelttr 10734	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ) → ((((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ≤ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∧ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1)) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1)))
82	80, 81	syl 17	. . 3 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ≤ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∧ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1)) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1)))
83	55, 76, 82	mp2and 697	. 2 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1))
84	35, 83	pm2.61ian 810	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019   class class class wbr 5069  (class class class)co 7159  ℝcr 10539  0cc0 10540  1c1 10541   + caddc 10543   < clt 10678   ≤ cle 10679   − cmin 10873  ℕcn 11641  2c2 11695  ℤcz 11984  ℝ⁺crp 12392  ...cfz 12895   mod cmo 13240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-sup 8909  df-inf 8910  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-fl 13165  df-mod 13241

This theorem is referenced by: (None)