Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  difmodm1lt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem difmodm1lt 42106
Description: The difference between an integer modulo a positive integer and the integer decreased by 1 modulo the same modulus is less than the modulus decreased by 1 (if the modulus is greater than 2). This theorem would not be valid for an odd 𝐴 and 𝑁 = 2, since ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) would be (1 − 0) = 1 which is not less than (𝑁 − 1) = 1. (Contributed by AV, 6-Jun-2012.)
Assertion
Ref Expression
difmodm1lt ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1))

Proof of Theorem difmodm1lt
StepHypRef Expression
1 simpl 471 . . . 4 (((𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (𝐴 mod 𝑁) = 1)
2 zre 11214 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
323ad2ant1 1074 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
4 nnre 10874 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
543ad2ant2 1075 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
6 1lt2 11041 . . . . . . . . . . 11 1 < 2
7 1red 9911 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
8 2re 10937 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
107, 9, 43jca 1234 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
11 lttr 9965 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((1 < 2 ∧ 2 < 𝑁) → 1 < 𝑁))
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 < 2 ∧ 2 < 𝑁) → 1 < 𝑁))
136, 12mpani 707 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (2 < 𝑁 → 1 < 𝑁))
1413a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ → (2 < 𝑁 → 1 < 𝑁)))
15143imp 1248 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 1 < 𝑁)
163, 5, 153jca 1234 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁))
1716adantl 480 . . . . . 6 (((𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁))
18 m1mod0mod1 39747 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = 1))
1917, 18syl 17 . . . . 5 (((𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = 1))
201, 19mpbird 245 . . . 4 (((𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0)
211, 20oveq12d 6545 . . 3 (((𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) = (1 − 0))
22 df-2 10926 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
2322breq1i 4584 . . . . . . . . 9 (2 < 𝑁 ↔ (1 + 1) < 𝑁)
2423biimpi 204 . . . . . . . 8 (2 < 𝑁 → (1 + 1) < 𝑁)
2524adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (1 + 1) < 𝑁)
26 1red 9911 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
274adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
2826, 26, 27ltaddsub2d 10477 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((1 + 1) < 𝑁 ↔ 1 < (𝑁 − 1)))
2925, 28mpbid 220 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 1 < (𝑁 − 1))
30 1m0e1 10978 . . . . . . 7 (1 − 0) = 1
3130breq1i 4584 . . . . . 6 ((1 − 0) < (𝑁 − 1) ↔ 1 < (𝑁 − 1))
3229, 31sylibr 222 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (1 − 0) < (𝑁 − 1))
33323adant1 1071 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (1 − 0) < (𝑁 − 1))
3433adantl 480 . . 3 (((𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (1 − 0) < (𝑁 − 1))
3521, 34eqbrtrd 4599 . 2 (((𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1))
36 zmodfz 12509 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
37363adant3 1073 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
38 elfzle2 12171 . . . . . 6 ((𝐴 mod 𝑁) ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (𝐴 mod 𝑁) ≤ (𝑁 − 1))
3937, 38syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ≤ (𝑁 − 1))
4039adantl 480 . . . 4 ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (𝐴 mod 𝑁) ≤ (𝑁 − 1))
41 nnrp 11674 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
42413ad2ant2 1075 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
433, 42modcld 12491 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℝ)
44 peano2rem 10199 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
454, 44syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
46453ad2ant2 1075 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
47 peano2zm 11253 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
4847zred 11314 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
49483ad2ant1 1074 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
5049, 42modcld 12491 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ)
5143, 46, 503jca 1234 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ))
5251adantl 480 . . . . 5 ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ))
53 lesub1 10371 . . . . 5 (((𝐴 mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ) → ((𝐴 mod 𝑁) ≤ (𝑁 − 1) ↔ ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ≤ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁))))
5452, 53syl 17 . . . 4 ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑁) ≤ (𝑁 − 1) ↔ ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ≤ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁))))
5540, 54mpbid 220 . . 3 ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ≤ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)))
5649, 42jca 552 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
5756adantl 480 . . . . . . 7 ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
58 modge0 12495 . . . . . . 7 (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → 0 ≤ ((𝐴 − 1) mod 𝑁))
5957, 58syl 17 . . . . . 6 ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → 0 ≤ ((𝐴 − 1) mod 𝑁))
6016, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = 1))
6160bicomd 211 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) = 1 ↔ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0))
6261notbid 306 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ↔ ¬ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0))
6362biimpac 501 . . . . . . 7 ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ¬ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0)
6463neqned 2788 . . . . . 6 ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ≠ 0)
6559, 64jca 552 . . . . 5 ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (0 ≤ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ≠ 0))
66 0red 9897 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
6766, 50jca 552 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ))
6867adantl 480 . . . . . 6 ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ))
69 ltlen 9989 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ) → (0 < ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ↔ (0 ≤ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ≠ 0)))
7068, 69syl 17 . . . . 5 ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (0 < ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ↔ (0 ≤ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ≠ 0)))
7165, 70mpbird 245 . . . 4 ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → 0 < ((𝐴 − 1) mod 𝑁))
7250, 46jca 552 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ))
7372adantl 480 . . . . 5 ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ))
74 ltsubpos 10369 . . . . 5 ((((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ) → (0 < ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ↔ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1)))
7573, 74syl 17 . . . 4 ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (0 < ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ↔ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1)))
7671, 75mpbid 220 . . 3 ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1))
7743, 50resubcld 10309 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∈ ℝ)
7846, 50resubcld 10309 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∈ ℝ)
7977, 78, 463jca 1234 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ))
8079adantl 480 . . . 4 ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ))
81 lelttr 9979 . . . 4 ((((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ) → ((((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ≤ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∧ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1)) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1)))
8280, 81syl 17 . . 3 ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ≤ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∧ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1)) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1)))
8355, 76, 82mp2and 710 . 2 ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1))
8435, 83pm2.61ian 826 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779   class class class wbr 4577  (class class class)co 6527  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117  cn 10867  2c2 10917  cz 11210  +crp 11664  ...cfz 12152   mod cmo 12485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-sup 8208  df-inf 8209  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-fz 12153  df-fl 12410  df-mod 12486
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator