MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  difrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem difrp 12417
Description: Two ways to say one number is less than another. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
difrp ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵𝐴) ∈ ℝ+))

Proof of Theorem difrp
StepHypRef Expression
1 posdif 11122 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
2 resubcl 10939 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
32ancoms 459 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
4 elrp 12381 . . . 4 ((𝐵𝐴) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐵𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵𝐴)))
54baib 536 . . 3 ((𝐵𝐴) ∈ ℝ → ((𝐵𝐴) ∈ ℝ+ ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
63, 5syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵𝐴) ∈ ℝ+ ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
71, 6bitr4d 283 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵𝐴) ∈ ℝ+))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wcel 2105   class class class wbr 5058  (class class class)co 7145  cr 10525  0cc0 10526   < clt 10664  cmin 10859  +crp 12379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861  df-neg 10862  df-rp 12380
This theorem is referenced by:  xralrple  12588  lincmb01cmp  12871  iccf1o  12872  expmulnbnd  13586  fsumlt  15145  expcnv  15209  blssps  22963  blss  22964  icchmeo  23474  icopnfcnv  23475  icopnfhmeo  23476  ivthlem2  23982  ivthlem3  23983  c1liplem1  24522  lhop1lem  24539  ftc1lem4  24565  aaliou3lem7  24867  abelthlem7  24955  cosordlem  25042  logdivlti  25130  cxpaddlelem  25259  atantan  25428  birthdaylem3  25459  lgamgulmlem2  25535  lgamgulmlem3  25536  chtppilimlem2  25978  pntrlog2bndlem5  26085  pntlemd  26098  pntlemc  26099  ostth2lem1  26122  ttgcontlem1  26599  lt2addrd  30402  signsplypnf  31720  knoppndvlem20  33768  ftc1cnnclem  34847  fltnltalem  39154  fltnlta  39155  cvgdvgrat  40525  sge0gtfsumgt  42606  hoidmvlelem3  42760  vonioolem1  42843  smfmullem1  42947  smfmullem2  42948  smfmullem3  42949
  Copyright terms: Public domain W3C validator