MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  difrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem difrp 12081
Description: Two ways to say one number is less than another. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
difrp ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵𝐴) ∈ ℝ+))

Proof of Theorem difrp
StepHypRef Expression
1 posdif 10733 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
2 resubcl 10557 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
32ancoms 468 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
4 elrp 12047 . . . 4 ((𝐵𝐴) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐵𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵𝐴)))
54baib 982 . . 3 ((𝐵𝐴) ∈ ℝ → ((𝐵𝐴) ∈ ℝ+ ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
63, 5syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵𝐴) ∈ ℝ+ ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
71, 6bitr4d 271 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵𝐴) ∈ ℝ+))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6814  cr 10147  0cc0 10148   < clt 10286  cmin 10478  +crp 12045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-ltxr 10291  df-sub 10480  df-neg 10481  df-rp 12046
This theorem is referenced by:  xralrple  12249  lincmb01cmp  12528  iccf1o  12529  expmulnbnd  13210  fsumlt  14751  expcnv  14815  blssps  22450  blss  22451  icchmeo  22961  icopnfcnv  22962  icopnfhmeo  22963  ivthlem2  23441  ivthlem3  23442  c1liplem1  23978  lhop1lem  23995  ftc1lem4  24021  aaliou3lem7  24323  abelthlem7  24411  cosordlem  24497  logdivlti  24586  cxpaddlelem  24712  atantan  24870  birthdaylem3  24900  lgamgulmlem2  24976  lgamgulmlem3  24977  chtppilimlem2  25383  pntrlog2bndlem5  25490  pntlemd  25503  pntlemc  25504  ostth2lem1  25527  ttgcontlem1  25985  lt2addrd  29846  signsplypnf  30957  knoppndvlem20  32849  ftc1cnnclem  33814  cvgdvgrat  39032  sge0gtfsumgt  41181  hoidmvlelem3  41335  vonioolem1  41418  smfmullem1  41522  smfmullem2  41523  smfmullem3  41524
  Copyright terms: Public domain W3C validator