MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  difrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem difrp 11703
Description: Two ways to say one number is less than another. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
difrp ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵𝐴) ∈ ℝ+))

Proof of Theorem difrp
StepHypRef Expression
1 posdif 10373 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
2 resubcl 10197 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
32ancoms 467 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
4 elrp 11669 . . . 4 ((𝐵𝐴) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐵𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵𝐴)))
54baib 941 . . 3 ((𝐵𝐴) ∈ ℝ → ((𝐵𝐴) ∈ ℝ+ ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
63, 5syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵𝐴) ∈ ℝ+ ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
71, 6bitr4d 269 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵𝐴) ∈ ℝ+))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  wcel 1976   class class class wbr 4577  (class class class)co 6527  cr 9792  0cc0 9793   < clt 9931  cmin 10118  +crp 11667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-ltxr 9936  df-sub 10120  df-neg 10121  df-rp 11668
This theorem is referenced by:  xralrple  11872  lincmb01cmp  12145  iccf1o  12146  expmulnbnd  12816  fsumlt  14322  expcnv  14384  blssps  21987  blss  21988  icchmeo  22496  icopnfcnv  22497  icopnfhmeo  22498  ivthlem2  22973  ivthlem3  22974  c1liplem1  23508  lhop1lem  23525  ftc1lem4  23551  aaliou3lem7  23853  abelthlem7  23941  cosordlem  24026  logdivlti  24115  cxpaddlelem  24237  atantan  24395  birthdaylem3  24425  lgamgulmlem2  24501  lgamgulmlem3  24502  chtppilimlem2  24908  pntrlog2bndlem5  25015  pntlemd  25028  pntlemc  25029  ostth2lem1  25052  ttgcontlem1  25511  lt2addrd  28737  signsplypnf  29787  knoppndvlem20  31526  ftc1cnnclem  32477  cvgdvgrat  37358  sge0gtfsumgt  39160  hoidmvlelem3  39311  vonioolem1  39395  smfmullem1  39500  smfmullem2  39501  smfmullem3  39502
  Copyright terms: Public domain W3C validator