MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  difsqpwdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem difsqpwdvds 15813
Description: If the difference of two squares is a power of a prime, the prime divides twice the second squared number. (Contributed by AV, 13-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
difsqpwdvds (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶𝐷) = ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))

Proof of Theorem difsqpwdvds
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0cn 11514 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ)
2 nn0cn 11514 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℂ)
31, 2anim12i 591 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
433adant3 1127 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
5 subsq 13186 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
64, 5syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
76adantr 472 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
87eqeq2d 2770 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶𝐷) = ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) ↔ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))))
9 simprl 811 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → 𝐶 ∈ ℙ)
10 nn0z 11612 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ)
11 nn0z 11612 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ)
1210, 11anim12i 591 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
13 zaddcl 11629 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
15143adant3 1127 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
16 nn0re 11513 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ)
1716adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
18 1red 10267 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
19 nn0re 11513 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
2019adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
2117, 18, 20ltaddsub2d 10840 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵 + 1) < 𝐴 ↔ 1 < (𝐴𝐵)))
22 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℕ0)
2320, 22, 183jca 1123 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℝ))
24 difgtsumgt 11558 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 < (𝐴𝐵) → 1 < (𝐴 + 𝐵)))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (1 < (𝐴𝐵) → 1 < (𝐴 + 𝐵)))
2621, 25sylbid 230 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵 + 1) < 𝐴 → 1 < (𝐴 + 𝐵)))
27263impia 1110 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → 1 < (𝐴 + 𝐵))
28 eluz2b1 11972 . . . . . . . . 9 ((𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ 1 < (𝐴 + 𝐵)))
2915, 27, 28sylanbrc 701 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ‘2))
3029adantr 472 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ‘2))
31 simprr 813 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → 𝐷 ∈ ℕ0)
329, 30, 313jca 1123 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0))
3332adantr 472 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → (𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0))
34 zsubcl 11631 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
3513, 34jca 555 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ))
3612, 35syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ))
37363adant3 1127 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ))
38 dvdsmul1 15225 . . . . . . . 8 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
3937, 38syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 + 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
4039ad2antrr 764 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → (𝐴 + 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
41 breq2 4808 . . . . . . 7 ((𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵) ∥ (𝐶𝐷) ↔ (𝐴 + 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))))
4241adantl 473 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → ((𝐴 + 𝐵) ∥ (𝐶𝐷) ↔ (𝐴 + 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))))
4340, 42mpbird 247 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → (𝐴 + 𝐵) ∥ (𝐶𝐷))
44 dvdsprmpweqnn 15811 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵) ∥ (𝐶𝐷) → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶𝑚)))
4533, 43, 44sylc 65 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶𝑚))
46 prmz 15611 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ ℙ → 𝐶 ∈ ℤ)
47 iddvdsexp 15227 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐶 ∥ (𝐶𝑚))
4846, 47sylan 489 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐶 ∥ (𝐶𝑚))
49 breq2 4808 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶𝑚) → (𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ 𝐶 ∥ (𝐶𝑚)))
5048, 49syl5ibrcom 237 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶𝑚) → 𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
5150rexlimdva 3169 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℙ → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶𝑚) → 𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
5251adantr 472 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶𝑚) → 𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
5352adantl 473 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶𝑚) → 𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
5453adantr 472 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶𝑚) → 𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
5512, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
56553adant3 1127 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
5721biimp3a 1581 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → 1 < (𝐴𝐵))
58 eluz2b1 11972 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐵) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((𝐴𝐵) ∈ ℤ ∧ 1 < (𝐴𝐵)))
5956, 57, 58sylanbrc 701 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ (ℤ‘2))
6059adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐴𝐵) ∈ (ℤ‘2))
619, 60, 313jca 1123 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴𝐵) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0))
6261adantr 472 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → (𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴𝐵) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0))
63 dvdsmul2 15226 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
6437, 63syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
6564ad2antrr 764 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
66 breq2 4808 . . . . . . . . 9 ((𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)) → ((𝐴𝐵) ∥ (𝐶𝐷) ↔ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))))
6766adantl 473 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → ((𝐴𝐵) ∥ (𝐶𝐷) ↔ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))))
6865, 67mpbird 247 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → (𝐴𝐵) ∥ (𝐶𝐷))
69 dvdsprmpweqnn 15811 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴𝐵) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝐵) ∥ (𝐶𝐷) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝐵) = (𝐶𝑛)))
7062, 68, 69sylc 65 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝐵) = (𝐶𝑛))
71 iddvdsexp 15227 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∥ (𝐶𝑛))
7246, 71sylan 489 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∥ (𝐶𝑛))
73 breq2 4808 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝐵) = (𝐶𝑛) → (𝐶 ∥ (𝐴𝐵) ↔ 𝐶 ∥ (𝐶𝑛)))
7472, 73syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐵) = (𝐶𝑛) → 𝐶 ∥ (𝐴𝐵)))
7574rexlimdva 3169 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ ℙ → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝐵) = (𝐶𝑛) → 𝐶 ∥ (𝐴𝐵)))
7675adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝐵) = (𝐶𝑛) → 𝐶 ∥ (𝐴𝐵)))
7776adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝐵) = (𝐶𝑛) → 𝐶 ∥ (𝐴𝐵)))
7877adantr 472 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝐵) = (𝐶𝑛) → 𝐶 ∥ (𝐴𝐵)))
7946adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℤ)
8037, 79anim12ci 592 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ)))
81 3anass 1081 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ) ↔ (𝐶 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ)))
8280, 81sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ))
83 dvds2sub 15238 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ) → ((𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝐶 ∥ (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∥ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵))))
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝐶 ∥ (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∥ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵))))
8513ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
8623ad2ant2 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
8785, 86, 86pnncand 10643 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) = (𝐵 + 𝐵))
8822timesd 11487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
8988eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 𝐵) = (2 · 𝐵))
90893ad2ant2 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐵 + 𝐵) = (2 · 𝐵))
9187, 90eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) = (2 · 𝐵))
9291breq2d 4816 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐶 ∥ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) ↔ 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
9392biimpd 219 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐶 ∥ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
9493adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∥ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
9584, 94syld 47 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝐶 ∥ (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
9695expcomd 453 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∥ (𝐴𝐵) → (𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵))))
9796adantr 472 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → (𝐶 ∥ (𝐴𝐵) → (𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵))))
9878, 97syld 47 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝐵) = (𝐶𝑛) → (𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵))))
9970, 98mpd 15 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → (𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
10054, 99syld 47 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶𝑚) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
10145, 100mpd 15 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵))
102101ex 449 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
1038, 102sylbid 230 1 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶𝐷) = ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wrex 3051   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  cr 10147  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153   < clt 10286  cmin 10478  cn 11232  2c2 11282  0cn0 11504  cz 11589  cuz 11899  cexp 13074  cdvds 15202  cprime 15607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-fz 12540  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-dvds 15203  df-gcd 15439  df-prm 15608  df-pc 15764
This theorem is referenced by:  lighneallem2  42051
  Copyright terms: Public domain W3C validator