Theorem dig0 42795

Description: All digits of 0 are 0. (Contributed by AV, 24-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dig0	⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾(digit‘𝐵)0) = 0)

Proof of Theorem dig0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0e0icopnf 12364	. . 3 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
2		digval 42787	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)0) = ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 0)) mod 𝐵))
3	1, 2	mp3an3 1494	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾(digit‘𝐵)0) = ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 0)) mod 𝐵))
4		nncn 11109	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	adantr 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		nnne0 11134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
7	6	adantr 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐵 ≠ 0)
8		znegcl 11493	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → -𝐾 ∈ ℤ)
9	8	adantl 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → -𝐾 ∈ ℤ)
10	5, 7, 9	expclzd 13096	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℂ)
11	10	mul01d 10316	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐵↑-𝐾) · 0) = 0)
12	11	fveq2d 6276	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 0)) = (⌊‘0))
13		0zd 11470	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
14		flid 12692	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℤ → (⌊‘0) = 0)
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (⌊‘0) = 0)
16	12, 15	eqtrd 2726	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 0)) = 0)
17	16	oveq1d 6748	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 0)) mod 𝐵) = (0 mod 𝐵))
18		nnrp 11924	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
19		0mod 12784	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝐵) = 0)
20	18, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (0 mod 𝐵) = 0)
21	20	adantr 472	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (0 mod 𝐵) = 0)
22	17, 21	eqtrd 2726	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 0)) mod 𝐵) = 0)
23	3, 22	eqtrd 2726	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾(digit‘𝐵)0) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1564   ∈ wcel 2071   ≠ wne 2864  ‘cfv 5969  (class class class)co 6733  ℂcc 10015  0cc0 10017   · cmul 10022  +∞cpnf 10152  -cneg 10348  ℕcn 11101  ℤcz 11458  ℝ⁺crp 11914  [,)cico 12259  ⌊cfl 12674   mod cmo 12751  ↑cexp 12943  digitcdig 42784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1818  ax-5 1920  ax-6 1986  ax-7 2022  ax-8 2073  ax-9 2080  ax-10 2100  ax-11 2115  ax-12 2128  ax-13 2323  ax-ext 2672  ax-rep 4847  ax-sep 4857  ax-nul 4865  ax-pow 4916  ax-pr 4979  ax-un 7034  ax-cnex 10073  ax-resscn 10074  ax-1cn 10075  ax-icn 10076  ax-addcl 10077  ax-addrcl 10078  ax-mulcl 10079  ax-mulrcl 10080  ax-mulcom 10081  ax-addass 10082  ax-mulass 10083  ax-distr 10084  ax-i2m1 10085  ax-1ne0 10086  ax-1rid 10087  ax-rnegex 10088  ax-rrecex 10089  ax-cnre 10090  ax-pre-lttri 10091  ax-pre-lttrn 10092  ax-pre-ltadd 10093  ax-pre-mulgt0 10094  ax-pre-sup 10095

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1567  df-ex 1786  df-nf 1791  df-sb 1979  df-eu 2543  df-mo 2544  df-clab 2679  df-cleq 2685  df-clel 2688  df-nfc 2823  df-ne 2865  df-nel 2968  df-ral 2987  df-rex 2988  df-reu 2989  df-rmo 2990  df-rab 2991  df-v 3274  df-sbc 3510  df-csb 3608  df-dif 3651  df-un 3653  df-in 3655  df-ss 3662  df-pss 3664  df-nul 3992  df-if 4163  df-pw 4236  df-sn 4254  df-pr 4256  df-tp 4258  df-op 4260  df-uni 4513  df-iun 4598  df-br 4729  df-opab 4789  df-mpt 4806  df-tr 4829  df-id 5096  df-eprel 5101  df-po 5107  df-so 5108  df-fr 5145  df-we 5147  df-xp 5192  df-rel 5193  df-cnv 5194  df-co 5195  df-dm 5196  df-rn 5197  df-res 5198  df-ima 5199  df-pred 5761  df-ord 5807  df-on 5808  df-lim 5809  df-suc 5810  df-iota 5932  df-fun 5971  df-fn 5972  df-f 5973  df-f1 5974  df-fo 5975  df-f1o 5976  df-fv 5977  df-riota 6694  df-ov 6736  df-oprab 6737  df-mpt2 6738  df-om 7151  df-1st 7253  df-2nd 7254  df-wrecs 7495  df-recs 7556  df-rdg 7594  df-er 7830  df-en 8041  df-dom 8042  df-sdom 8043  df-sup 8432  df-inf 8433  df-pnf 10157  df-mnf 10158  df-xr 10159  df-ltxr 10160  df-le 10161  df-sub 10349  df-neg 10350  df-div 10766  df-nn 11102  df-n0 11374  df-z 11459  df-uz 11769  df-rp 11915  df-ico 12263  df-fl 12676  df-mod 12752  df-seq 12885  df-exp 12944  df-dig 42785

This theorem is referenced by:  0dig2pr01  42799  nn0sumshdiglem1  42810